USP – Física 4 – 2019 – P2 – Exercício 1
Uma partícula com energia cinética de e massa de repouso colide inelásticamente com outra partícula de mesma massa em repouso, resultando em uma única partícula após a colisão.
a) Encontre a razão entre a velocidade inicial da partícula incidente e a velocidade da luz.
b) Encontre a razão entre a velocidade da partícula resultante e a velocidade da luz.
c) Encontre a razão entre a massa de repouso da partícula resultante e .
Passo 1
Fala galera, vamos resolver mais uma questão de prova da POLI? Bora!
Essa é uma questão sobre colisões relativísticas, então você vai precisar lembrar um pouquinho sobre energia de repouso, energia cinética relativística e outras coisinhas. Mas relaxa que eu ajudo vocês!
No item (a), temos que olhar apenas para a partícula incidente, pois a colisão ainda não aconteceu, de modo que apenas a energia da partícula nos imposta, considerando isso podemos esquecer a colisão por um momento. Sabemos que a expressão para a energia relativística total de um corpo é
Já sua energia de repouso é
Como a energia cinética é um dado do enunciado, vamos escrever sua expressão:
Lembre-se: a energia cinética é sempre a energia relativística total menos a de repouso! Lembre-se também que o parâmetro (gamma) é dado por:
onde (beta) é a razão da velocidade da partícula pela velocidade da luz:
Passo 2
Como
vamos isolar :
Show de bola, estamos quase lá!
A massa de repouso da partícula incidente é
Assim,
Portanto, como
Passo 3
Sabemos que
Como :
Assim,
Portanto,
Mas como , temos que
Era isso que o item (a) pedia! A primeira parte já foi!
Passo 4
No item (b), ele pede a velocidade da partícula resultante após a colisão. Além disso, foi dito que a colisão é inelástica. Isso significa que as partículas “seguem” grudadas após a colisão. Para isso, temos que estudar a colisão aplicando tanto a conservação da energia como a conservação do momento linear!
Antes da colisão, a partícula incidente com massa tem energia enquanto a partícula alvo está em repouso, de modo que sua energia é apenas a energia de repouso: . Note que a partícula alvo tem a mesma massa de repouso que a partícula incidente! Assim, a energia do sistema antes da colisão é
Depois da colisão, a partícula resultante com massa terá uma energia . Note que temos que usar um outro fator pois a velocidade dela será diferente! Assim, após a colisão, a energia do sistema será
Pelo princípio da conservação da energia, podemos igualar as expressões:
Passo 5
Agora vamos olhar para o momento linear. Lembre-se que para uma partícula com massa e velocidade , o momento linear é
Antes da colisão, a partícula incidente tem momento linear
Já a partícula alvo, como está em repouso, tem
Olhando para o sistema após a colisão, temos
Aplicando a conservação do momento linear:
Passo 6
Com a conservação da energia e do momento linear, obtivemos duas equações:
Já conhecemos , e . Nossas incógnitas são e . Lembre-se que depende de !
Aqui existem muitas formas de resolver: você pode, por exemplo, substituir os números que você conhece e tentar achar o resto. Vou tentar fazer de um jeito mais elegante. Simplificando os fatores na primeira equação e fatorando :
Dividindo ela pela segunda:
Assim,
Bingo, resolvemos o problema! Viu que truque maneiro? Já sabemos do item (a) que e que . Assim,
Portanto,
Passo 7
Agora vamos terminar o problema com item (c): devemos achar a razão !
Como já temos , podemos achar :
Voltando para a equação
Temos que , e . Assim,
Portanto,
E assim terminamos o problema!
Resposta
a)
b)
c)