Origem do Exercício
Uma partícula com massa de repouso viaja com velocidade constante de até colidir com uma partícula idêntica, inicialmente em repouso, para um dado referencial inercial. Após a colisão, as duas partículas iniciais formam uma nova partícula.
Em relação ao mesmo referencial inercial, responde o que se pede em função de e de constantes fundamentais.
- Determine o módulo do momento linear e a energia total da nova partícula
- Calcule o módulo da velocidade e a massa de repouso da nova partícula.
- Nesse processo, pode-se dizer que ocorreu conservação da massa de repouso, conversão de energia cinética inicial em massa de repouso ou conversão de massa de repouso do sistema inicial em energia cinética? Justifique sua resposta.
Passo 1
Letra a)
No processo de colisão, tanto o momento linear quanto a energia total do sistema se conservam.
Isso significa que o momento linear da partícula resultante vai ser igual a soma dos momentos lineares das partículas iniciais.
Como uma das partículas está em repouso, temos:
Pelo enunciado, e, pela definição:
Substituindo, temos:
Passo 2
O mesmo raciocínio vale para a energia da partícula resultante.
Como a segunda partícula está em repouso, teremos que , e assim:
Passo 3
Letra b)
Usando os resultados da letra (a), nós podemos montar um sistema de equações. Substituindo as fórmulas para o momento linear e para a energia da partícula resultante, teremos:
Da segunda equação, temos que:
Substituindo na primeira resulta:
Com a velocidade da partícula resultante, podemos achar o valor de para ela.
O que nos permite achar a massa dela em função da massa inicial das particulas.
Passo 4
Letra c)
A massa de repouso inicial do sistema seria
Porém, a massa de repouso final é igual a:
Então a massa de repouso não se conservou, ela aumentou.
Mas essa variação da massa tem que ter ido pra algum lugar! Em geral, esse “lugar” é a energia. A energia total se conservou, mas a energia de repouso aumentou, o que deveria significar que a energia cinética diminuiu.
A variação da energia de repouso é:
A energia cinética antes da colisão é igual à energia cinética da partícula 1, sendo:
A energia cinética após a colisão é a energia cinética da partícula resultante, que vai ser:
A variação da energia cinética é:
Ou seja, as variações de energia são iguais em módulo, porém enquanto uma é o inverso da outra, significando que uma aumentou () e a outra diminui ().
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)
A massa de repouso do sistema não se conservou, parte da energia cinética do sistema foi convertida em energia de repouso, causando aumento da massa de repouso.