Física 4 – PUC RJ – 2019.2 – P4 – Questão 2
Em uma colisão a altas energias, dois píons e são produzidos no laboratório com velocidades e , respectivamente, na direção , entrando então em um detector de comprimento de .
a) Visto do referencial do píon , qual é o comprimento do detector?
b) Sabendo que píons têm tempo de vida próprio de , conseguirá o píon cruzar todo o detector?
c) Qual é a velocidade do vista do referencial do ?
d) Suponha agora que as velocidades dos píons não são conhecidas e sim os seus momentos, em termos de suas massas de repouso (): e para e , respectivamente. Qual é a razão entre as duas energias cinéticas ?
Passo 1
Eai galerinha, prontos para resolver uma questão de física 4?
Nesse problema vamos discutir algumas ideias centrais da relatividade restrita. Temos um detector com comprimento . Note que esse é o comprimento no referencial em que o detector está em repouso. Vamos chamar esse referencial de .
Com relação a esse referencial, as duas partículas se movem com velocidades e . No item (a) ele quer saber qual é o comprimento do detector no referencial da partícula 2.
Para resolver esse problema nós usamos a contração do espaço:
No referencial que se move com relação ao detector, o comprimento será o comprimento próprio () dividido pelo fator :
Assim,
Usando , temos que
Para o corpo em movimento as distâncias parecem menores!
Passo 2
No item (b) vamos usar a ideia de dilatação temporal!
No referencial da partícula 1 o tempo de vida próprio da partícula é . Para converter isso para o referencial (do detector), usamos a dilatação temporal:
Como , temos que
Daí,
Esse é o tempo de vida da partícula 1 medida no referencial . Vamos calcular agora o tempo necessário para essa partícula percorrer os do detector também no referencial :
Logo,
Como o tempo de vida é maior que o tempo necessário para a partícula percorrer todo o detector , o píon consegue atravessar todo o detector!
Importante: para a gente fazer essa comparação temos que calcular os dois tempos num mesmo referencial, não adianta comparar o tempo de vida no referencial de repouso da partícula com o tempo de percurso no referencial dado por .
Passo 3
Agora vamos para o item (c)!
Queremos achar a velocidade da partícula 2 com relação a partícula 1. Vamos considerar o referencial do detector como sendo e o referencial da partícula 1 como sendo . A velocidade do referencial com relação a é
No referencial , a velocidade da partícula 2 é , queremos saber qual a velocidade no referencial . Para achar isso, usamos a lei de composição de velocidades:
Vamos substituir os valores:
Portanto,
Vemos que no referencial da partícula 1 (referencial ), a partícula 1 se move na direção . Em essa partícula se move na direção . Note que isso faz sentido: como a partícula 1 se move mais rapidamente que a 2, é natural que ela esteja se afastando, de modo que na visão dela a partícula 1 está “andando para trás”.
Passo 4
Bora para último item! O exercício forneceu para gente o momento de cada partícula:
Queremos a razão das energias cinéticas . Para isso, usamos a relação energia-momento:
Para a partícula 1:
Já para a partícula 2:
Já temos a energia total de cada partícula. Para achar a energia cinética, basta subtrair a energia de repouso:
Portanto, a razão delas será
Portanto,
Foi tranquilo né? 😉.
Resposta
A partícula 1 consegue atravessar o detector inteiro.