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Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Equações de Diferença

Ache a solução geral das equações seguintes:

i) y ' - y - y 2 x e 2 x = 0

ii) x y ' + 2 y = x 2 - x + 1

iii) y n + 1 = 1 2 y n + 6

Passo 1

i) Primeiro vamos reescrever a EDO numa forma que fique mais fácil de achar a resposta.

y ' - y - y 2 x e 2 x = 0

⇒ y ' - y 1 - y x 2 x = 0

⇒ y ' = y 1 - y x e 2 x

Veja então que essa EDO é separável, portanto

d y y 1 - y = x e 2 x d x

Integrando ambos os lados ficamos com

∫ d y y 1 - y = ∫ x e 2 x d x

Passo 2

Portanto temos duas integrais para calcular.

Vamos começar pela da esquerda. Vamos usar frações parciais.

1 y 1 - y = A y + B 1 - y

⇒ 1 y 1 - y = A 1 - y + B y y ( 1 - y )

⇒ 1 y 1 - y = A + ( - A + B ) y y ( 1 - y )

Então temos que

A = 1

- A + B = 0 ⇒ B = 1

Passo 3

Portanto, substituindo os valores na integral ficamos com

∫ d y y 1 - y = ∫ d y y + ∫ d y 1 - y = ln ⁡ y - ln ⁡ 1 - y + C = l n ⁡ | y 1 - y | + C 1

Passo 4

Agora na integral da direita:

∫ x e 2 x d x

Vamos integrar por partes:

Chamamos:

u = x

d u = d x

d v = e 2 x d x

v = e 2 x 2

Então,

∫ x e 2 x d x = x e 2 x 2 - ∫ e 2 x 2 d x = x e 2 x 2 - e 2 x 4 + C 2 = x e 2 x 2 - e 2 x 4 + C 2

Passo 5

Portanto, ficamos com

ln ⁡ y 1 - y + C 1 = x e 2 x 2 - e 2 x 4 + C 2

ln ⁡ y 1 - y = x e 2 x 2 - e 2 x 4 + C

Passo 6

ii) Bom, para resolver essa EDO

x y ' + 2 y = x 2 - x + 1

Começamos por dividir tudo por x .

y ' + 2 x y = x - 1 + 1 x

Como temos uma EDO de primeira ordem, que não é separável, vamos resolver pelo método do fator integrante.

O fator integrante é dado por:

I x = e ∫ 2 x d x = e 2 ln ⁡ x = e ln ⁡ x 2 = x 2

Passo 7

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante ficamos com

x 2 y ' + 2 x y = x 3 - x 2 + x

Agora, repare no lado esquerdo da EDO:

x 2 y ' + 2 x y

Vela que o termo que acompanha y é a derivada da termo que acompanha y ' além disso y ' é a derivada de y . Então, veja se isso não fica dessa forma

x 2 y ' + 2 x y = x 2 y ' + x 2 ' y = f x g ' x + f ' x g x

Que é a derivada do produto, com f x = x 2 e g x = y .

Então ficamos com

x 2 y ' + 2 x y = x 2 y ' + x 2 ' y = d x 2 y d x

Passo 8

Logo,

d x 2 y d x = x 3 - x 2 + x

⇒ d x 2 y = x 3 - x 2 + x d x

⇒ x 2 y = ∫ x 3 - x 2 + x d x

⇒ y = 1 x 2 x 4 4 - x 3 3 + x 2 2 + C

⇒ y = x 2 4 - x 3 + 1 2 + C x 2

Passo 9

iii) Bom para resolver essa equação de diferenças:

y n + 1 = 1 2 y n + 6

Temos que achar a solução homogênea e depois a particular já que essa equação é não homogênea.

Para achar a solução homogênea fazemos:

n = 0 :                           y 1 = 1 2 y 0

n = 1 :             y 2 = 1 2 y 1 = 1 2 2 y 0

n = 2 :                     y 3 = 1 2 y 2 = 1 2 3 y 0

E assim por diante até termos

y h n = 1 2 n y 0

Passo 10

A solução particular é sempre dada por

y p n = 1 - ρ n 1 - ρ ⋅ b

Onde

ρ = 1 2

b = 6

Então

y p n = 1 - 1 2 n 1 - 1 2 ⋅ 6

y p n = 12 1 - 1 2 n

Logo, a solução geral é dada por

y n = 1 2 n y 0 + 12 1 - 1 2 n

Resposta

i)

ln ⁡ y 1 - y = x e 2 x 2 - e 2 x 4 + C

ii)

y = x 2 4 - x 3 + 1 2 + C x 2

iii)

y n = 1 2 n y 0 + 12 1 - 1 2 n

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