Encontre a solução da equação
com a condição inicial . Estude o comportamente da solução quando .
Passo 1
Vamos refletir. Isso parece uma equação da diferença não homogênea, né? Mas lembra que a equação da diferença que a gente tem a solução na cabeça tem a forma geral:
Mas a nossa não está com esses índices. Repara:
Só que fizermos a substituição
Olha só! Nossa equação fica com a carinha da forma geral:
Comparando com a forma geral, a gente tem:
Vamos resolver essa equação nova que a gente achou, primeiro. Aí por ela a gente acha a resolução que ele pediu. Vem!
Passo 2
Primeira coisa é achar a solução da equação homogênea correspondente:
Ela tem essa cara:
Aí substituindo nossos dados:
Passo 3
Agora é achar a solução particular. Ela também tem fórmulinha! É:
Substituindo nossos dados aí:
Aí a solução geral daquela equação é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 4
Maaas, precisamos lembrar que a gente disse que
E substituir isso na solução que a gente achou, já que nossa equação mesmo usa e não .
Aí a gente substitui ali:
E aquele termo ?
Cara, como a gente disse que
Fazendo
Então nossa expressão fica:
Acabou? Ainda não hahaha Mas calma, a gente consegue!
Passo 5
A gente precisa achar uma expressão para , mas a gente tem . Então ainda não chegamos lá.
Maaas, a nossa EDO relaciona e . Então a gente pode fazer:
Substituir nossa expressão para aí:
Ajeitando:
Agora acabou? Não ☹ A gente precisa achar . Vem comigo, vem!
Passo 6
O enunciado nos deu , mas a gente precisa de . Será que dá para achar então?
Claro que dá! Olha nossa EDO:
Se a gente fizer :
Aí substituindo :
Passo 7
Agora sim! Ufa! Essa é a nossa solução:
Passo 8
Vamos ver o comportamento dela quando :
Como a gente tem potência com base maior que 1 e expoente tendendo ao infinito, e as duas são termos positivos, a gente tem que: