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Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Listas - Teste 9 – Lista da Prof. Thais Dalberto - Lista 1 –questão 11e

Para cada equação abaixo encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita.

e) y ' = x y 3 1 + x 2 - 1 / 2 , y 0 = 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para usarmos a condição inicial y 0 = 1 para encontrarmos a solução da equação.

Mas como podemos fazer isso?

Como estamos estudando equações diferenciais, vamos manipular algebricamente a expressão dada com derivadas e integrais para, dessa forma, encontrarmos constantes.

Daí, vamos usar a condição inicial para encontrarmos a solução da equação, belezinha?

Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... temos que:

d y d x = x y 3 1 + x 2 - 1 / 2

Separando a equação e integrando, temos:

∫ d y y 3 = ∫ x 1 + x 2 d x ∴

Passo 3

Resolvendo ∫ x 1 + x 2 d x através da substituição:

u = 1 + x 2

d u = 2 x   d x

Temos:

∫ d u 2 u = 1 + x 2 + c ' '

Passo 4

Dessa forma, substituindo no Passo 2, temos:

- 1 2 y 2 + c ' = 1 + x 2 + c ' ' ∴

y = ± 1 2 1 + x 2 1 / 2 + c

Passo 5

Dessa forma, aplicando a condição inicial y 0 = 1 , temos:

1 = ± 1 2 1 + 0 2 1 / 2 + c ∴

1 = ± 1 2 + c

Passo 6

Detalhe: Na expressão, observamos que o resultado é obtido para c = - 1 e para um sinal positivo na raiz.

Dessa forma, o resultado é dado por:

y = 1 2 1 + x 2 1 / 2 - 1

Entendeu direitinho? Responde aee nataliiiena ;)

Resposta

y = 1 2 1 + x 2 1 / 2 - 1

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