UFRJ – Cálculo 2 – Lista de Integral e EDO – Questão 9
Nas questões 8 e 9 utilize a lei de resfriamento de Newton: A taxa de variação da temperatura de um corpo ou objeto sem fonte de calor própria é proporcional à diferença da temperatura do ambiente e do corpo. Isto é
onde é a temperatura do objeto no instante de tempo t, é a temperatura do
ambiente e é o coeficiente de transferência de calor.
Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura
constante de . Se após a temperatura do corpo é de e após é de
, determine a temperatura inicial.
Passo 1
Oi, tudo bem? beleza??
Nessa questão vamos determinar a temperatura inicial do corpo.
Pra isso vamos usar a lei de resfriamento de Newton:
Onde é a temperatura do corpo que varia, é a temperatura do meio e é a constante do material.
Passo 2
Resolvendo essa EDO separável:
Passando tudo que tem pra um lado e para o outro:
Integrando dos dois lados:
Beleza?
Passo 3
Temos que a temperatura do meio é e duas condições:
- após 10 minutos a temperatura do corpo é , então:
- após 20 minutos a temperatura do corpo é , então:
Achando e :
Passo 4
Como queremos a temperatura inicial, então é a temperatura quando , então: