UFRJ – Cálculo 2 – Lista de Integral e EDO – Questão 8a
Nas questões 8 e 9 utilize a lei de resfriamento de Newton: A taxa de variação da temperatura de um corpo ou objeto sem fonte de calor própria é proporcional à diferença da temperatura do ambiente e do corpo. Isto é
onde é a temperatura do objeto no instante de tempo t, é a temperatura do
ambiente e é o coeficiente de transferência de calor.
Coloca-se uma barra de metal à temperatura de em um quarto com temperatura
constante de . Se, após , a temperatura da barra é de , determine:
- O tempo necessário para que a barra chegue à temperatura de ?
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação de aquecimento de Newton
E perguntou o tempo para que a barra chegar até a temperatura de
Mas como resolver ela?
Nessa questão temos uma barra de metal que está dentro de um quarto que está a . Depois de minutos a barra está a . A barra trocou de calor com o ambiente e por isso diminuiu a sua temperatura.
Queremos calcular o tempo necessário para que a barra chegue a .
Pra isso vamos usar a lei do resfriamento de Newton:
Onde é a temperatura do corpo que varia, é a temperatura do meio e é a constante do material.
A ideia então é usar a equação dada para achar uma função que nos dê a temperatura da barra em função do tempo!
Mas relaxa, vou fazer com você!
Passo 2
Resolvendo essa EDO separável:
Passando tudo que tem pra um lado e para o outro:
Integrando dos dois lados:
Passo 3
Nós temos dois pontos, o inicial:
E depois de 20 minutos:
Então a equação fica:
Essa é a equação que dá a temperatura em função do tempo! Agora podemos achar nossa letra a
Passo 4
Pra achar o tempo necessário pra barra chegar a :