UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2015.1, Questão 4b
Um tanque de litros de água contém de sal. Você o irriga com água limpa a uma taxa de litros por minuto e deixa a mistura escoar com a mesma vazão.
b) Quanto tempo levará para que a quantidade de sal caia pela metade.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado no deu uma aplicação mais prática das nossas equações diferenciais. Temos um tanque de litros, e esse volume é mantido constante ao longo do tempo (pois o volume d’água que sai é igual ao que entra).
Inicialmente, são adicionados de sal no tanque e ao longo do tempo, água limpa é adicionada no tanque enquanto a água “salgada” sai dele. É dito que a água limpa entra em uma taxa de litros por minuto, e a água “salgada” sai na mesma taxa.
O objetivo do exercício é que a gente determine em quanto tempo a quantidade de sal vai diminuir pela metade. Pra descobrir isso vamos precisar encontrar uma fórmula que expressa a quantidade de sal em função do tempo e, em seguida, encontrar o tempo para metade da quantidade inicial de sal.
Vamos lá!
Passo 2
Então, o sal está saindo do tanque junto com a água a uma taxa de litros por minuto. O grande ponto é quanto de sal está diluído em litros de água.
Pra responder isso precisamos pensar que o sal deve-se diluir homogeneamente no tanque. Assim, se em um dado instante tem uma quantidade de sal dentro do tanque, ele deve estar todo diluído de modo que sua concentração vale:
(Importante destacar que o denominador é sempre porque o volume do tanque não muda).
Assim, em um intervalo de tempo deve sair do tanque uma quantidade de água dada por:
Logo a quantidade de sal, , que deixa o tanque no intervalo de tempo , vale:
Ou seja:
Perfeito!
Passo 3
Agora precisamos resolver a EDO:
Para encontrar uma expressão pra quantidade de sal dentro do tanque, , em função do tempo.
Manipulando a EDO, temos:
Integrando dos dois lados temos:
Logo:
Mas, quando , temos . Assim:
Ou seja:
Prontinho, encontramos uma expressão pra em função do tempo em minutos.
Passo 4
Só falta a gente descobrir o tempo necessário para que a quantidade de sal caia pela metade. O enunciado nos deu uma quantidade inicial de de sal, então a gente quer saber o tempo quando , ou seja:
Calculando o logaritmo natural do dos lados, temos:
Pela propriedade dos logaritmos:
Mas , então:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉