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Exercícios Resolvidos de Equações de Maxwell

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Enunciado

Equações de Maxwell

O campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo é dado por E → = E x i ^ + E y j ^ com

E x = - E 1 cos ⁡ ω t - β x + y ,

E y = E 2 cos ⁡ ω t - β x + y

Onde E 1 , E 2 β e ω são constante positivas. O valor máximo atingido pelo módulo do campo elétrico E → = E x 2 + E y 2 = E 0 .

  1. Use a forma diferencial da lei de Gauss para determinar E 1 e E 2 em termos de E 0 .
  2. Sabendo que o campo elétrico satisfaz a equação de onda tridimensional, determine a constante β em termos da velocidade da luz no vácuo c e ω ;
  3. Use a forma diferencial da lei de Faraday para determinar o campo magnético associado ao campo elétrico dado em termos de E 0 , ω e da velocidade da luz no vácuo c .

Passo 1

  1. Use a forma diferencial da lei de Gauss para determinar E 1 e E 2 em termos de E 0 .

    2. A forma diferencial da Lei de Gauss é dada por:

    ∇ ∙ E → = 0

    ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y = 0

    E 2 - E 1 β sen ⁡ ω t - β x + y = 0

    E 2 - E 1 = 0

    E 1 = E 2

    Usando o que o problema nos disse:

    E x 2 + E y 2 = E 0

    E 1 2 + E 2 2 = E 0

    E 1 2 = E 0

    E 1 = E 2 = E 0 2

    Passo 2

  2. Sabendo que o campo elétrico satisfaz a equação de onda tridimensional, determine a constante β em termos da velocidade da luz no vácuo c e ω ;

    3. A equação de onda tridimensional é dada por:

    ∇ 2 E → - 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t 2 = 0

    - 2 β 2 + ω 2 c 2 E → = 0

    β = ω 2 c

    Passo 3

  3. Use a forma diferencial da lei de Faraday para determinar o campo magnético associado ao campo elétrico dado em termos de E 0 , ω e da velocidade da luz no vácuo c .

A forma diferencial da Lei de Faraday é dada por:

- ∂ B → ∂ t = ∇ × E → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z E x E y 0 = ∂ E y ∂ x - ∂ E x ∂ y k ^

- ∂ B → ∂ t = 2 E 0 β sen ⁡ ω t - β x + y k ^

∂ B → = - 2 E 0 β sen ⁡ ω t - β x + y ∂ t   k ^

Agora só temos que integrar os dois lados:

B → = 2 E 0 β ω cos ⁡ ω t - β x + y k ^

B → = E 0 c cos ⁡ ω t - x + y 2 c k ^

Resposta

a.

E 1 = E 2 = E 0 2

b.

β = ω 2 c

c.

B → = E 0 c cos ⁡ ω t - x + y 2 c k ^

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