PUC, Física 4, P1 2017.1, 1
Use os operadores diferenciais e os teoremas de Gauss e Stokes para passar as leis de Maxwell abaixo para a forma diferencial. (Qint ≡ Qsaldo)
(a ) onde e
(b )
Passo 1
Nessa questão vamos ter que gastar os nossos conhecimentos de cálculo para resolve-las.
Podemos relacionar as seguintes equações
,
E chegaremos na seguinte fórmula
Mas objetivo da questão é que cheguemos na forma diferencial das leis de Maxwell e para isso precisamos dos teoremas de Gauss e Stokes.
Nesse caso podemos usar o teorema de Gauss, que é dado pela fórmula
Relacionando as duas fórmulas que temos, encontramos que
Podemos perceber que os dois fatores são integrais do volume, podemos escrever isso da seguinte forma
Agora pensa comigo, como o nosso volume é continuo e conexo, o único fator que pode zerar essa integral é o valor dentro do parênteses, ou seja, quando
Por fim
Passo 2
Agora devemos passar a seguinte fórmula para a forma diferencial, e como já sabemos, vamos gastar nossos conhecimentos de cálculo para isso
Nesse caso temos que lembrar que do teorema de Stokes temos a seguinte relação
Relacionando o nosso teorema de Stokes com a fórmula de Maxwell teremos que
Perceba que assim como na lei de Gauss todos os termos ficaram em função do volume, no teorema de Stokes todos ficaram em função da área, logo podemos isolar todos de um lado e junta-los da seguinte forma
Agora pensa comigo, se é uma superfície elementos simplesmente convexa e não nula, significa que apenas o tema dentro do parênteses pode ser capaz de zerar essa equação, ou seja,
Resposta
a)
b)