Origem do Exercício
O campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo é dado por com
Onde , , e são constantes positivas.
O valor máximo atingido pelo módulo do campo elétrico é .
- Use a forma diferencial da lei de Gauss para determinar e em termos de .
- Sabendo que o campo elétrico satisfaz a equação de onda tridimensional, determine a constante em termos da velocidade da luz no vácuo e .
- Use a forma diferencial da lei de Faraday para determinar o campo magnético associado ao campo elétrico dado em termos de , e da velocidade da luz no vácuo .
Passo 1
Letra a)
A lei de Gauss diz que:
Onde é o divergente do campo elétrico, que é dado por:
Temos então:
Substituindo:
Porém, como a onda está se propagando no vácuo, não há nenhuma carga e por isso . Como a função seno oscila, não podendo ser sempre zero, teremos que:
Passo 2
O valor máximo atingido pelo módulo do campo elétrico é atingido quando e , e nesse caso:
Passo 3
Letra b)
A equação tridimensional da onda neste caso vai ser:
Vamos verificar cada componente. Primeiro a componente .
A componente vai nos dar o mesmo resultado:
Passo 4
Letra c)
A forma diferencial da Lei de Faraday nos diz que:
Para lembrar como fazer o rotacional, podemos imaginá-lo como um determinante:
Onde vamos substituir logo que e que e não dependem de . Isso vai nos dar:
Como , ficamos com
As componentes em e em de são constantes no tempo, e podem ser consideradas zero (pois é perpendicular a , que se encontra no plano ).
Assim, integrando a componente em no tempo
Do primeiro item, temos que:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)