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Exercícios Resolvidos de Equações de Maxwell

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Enunciado

Usp - Física 3 – P3 2018.1 – 2cd

Parte I I :

Considere um sistema cujos vetores campo elétrico e magnético são dados por   E → = E x , E y , E z = ( h x + p x y t , 0,0 ) e   B → = B x , B y , B z = ( a y , 0 , b x t 2 ) , respectivamente, onde h ,   p ,   a ,   b são constantes e ( x , y , z ) denotam coordenadas cartesianas. Usando as equações de Maxwell, determine:

  1. A densidade de carga do sistema.
  2. O vetor densidade de corrente  J → do sistema.

Passo 1

c) A lei de Gauss na forma diferencial é

ρ = ε 0   ∇ → ⋅ E → = ε 0 ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z   .    

Aplicando a expressão dada no enunciado, que só a componente E x diferente de zero, teremos

ρ = ε 0 h + p y t   .

Passo 2

d) Da lei de Ampère-Maxwell na forma diferencial, temos

∇ →   ×   B → = μ 0   J → + μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t       ⇒       J → = 1 μ 0   ∇ →   ×   B → - ε 0 ∂ E → ∂ t   ,

sendo que

∇ →   ×   B → = ∂ B z ∂ y - ∂ B y ∂ z , ∂ B x ∂ z - ∂ B z ∂ x , ∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y   .

Na expressão dada no enunciado, temos as seguintes expressões para as componentes do campo magnético

B x = a y     ;     B y = 0     ;     B z = b x t 2   ,

e para o campo elétrico

E x = h x + p x y t   ;     E y = 0     ;     E z = 0     .

Colocando essas expressões dentro do rotacional de   B → , teremos

∇ →   ×   B → = 0 , - b t 2 , - a ,

e para o termo da derivada temporada de   E →

- ∂ E → ∂ t   = - p x y   ,   0   ,   0 .

Com isso,   J → fica

J → = - ε 0 p x y ,   - b t 2 μ 0 ,   - a μ 0   .

Resposta

  1. ρ = ε 0 h + p y t   ;
  2. J → = - ε 0 p x y ,   - b t 2 μ 0 ,   - a μ 0   .

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