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Exercícios Resolvidos de Equações de Maxwell

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Enunciado

PUC, Física 4, P1 2017.1, 1

A partir das equações de Maxwell no vácuo, encontre a equação diferencial de onda para o campo elétrico E → .

Passo 1

Nessa questão de quer que usemos nossos conhecimentos de cálculo e Física3 e dessa forma determinarmos qual a fórmula diferencial de onda, nesse caso, para o campo E → , mas sabemos que ele também poderia pedir a do campo magnético, mas vamos focar no campo elétrico.

Sabemos que a lei de Faraday-lenz é dada pela formula

∇ × E → = - d B → d t

Vamos aplicar o operador Rotacional de ambos os lados da lei de Faraday-Lenz

∇ × ∇ × E → = ∇ × - d B → d t

Passo 2

Podemos escrever o seguinte termo, rotacional do rotacional

∇ × ∇ × E →

Em termos do gradiente, e a nova fórmula será

∇ × ∇ × E → = ∇ ∇ . E → - ∇ 2 E →

Dessa forma o nosso calculo ficou em termos do operador laplaciano

E para esse caso o nosso termo ∇ . E → será igual a zero

Dessa forma o nosso termo principal ficará assim

- ∇ 2 E → = ∇ × - d B → d t

∇ 2 E → = ∇ × d B → d t

Passo 3

Mas perceba que podemos fazer uma inversão entre a operação de derivada temporal d … d t com o operador rotacional ∇ , teremos então

∇ 2 E → = d d t ∇ × B →

Olha que interessante, você lembra qual a fórmula da equação de ampère-Maxwell para o vácuo?

∇   → ×   B → = μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t

Substituindo na equação anterior teremos

∇ 2 E → = d d t μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t

Por fim teremos

∇ 2 E → = μ 0 ε 0 ∂ ² E → ∂ t ²

Podemos ainda escrever a nossa equação de onda da seguinte forma

∇ 2 E → - μ 0 ε 0 ∂ ² E → ∂ t 2 = 0

Resposta

a) ∇ 2 E → - μ 0 ε 0 ∂ ² E → ∂ t 2 = 0

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