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Exercícios Resolvidos de Equações de Maxwell

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Enunciado

PUC, Física 4, P1 2017.2, 1

Seja um campo elétrico propagando-se no vácuo tal que E → = E 0   S e n ( K Z -   ω t ) x ^

(a) Mostre que este campo satisfaz à Lei de Gauss em sua forma diferencial.

(b) Aplique a Lei de Ampère em sua forma diferencial para encontrar a expressão

para o campo magnético.

(c) Mostre que E → obedece a equação de onda e com isso comprove que a velocidade

de propagação da luz é igual a ( μ 0 ε 0 ) - 1 2 .

Passo 1

Sabemos que se trata de um problema de campo elétrico em que o objetivo do problema a é demonstrar que a lei de Gauss em sua forma diferencial está correta para o campo elétrico dado no enunciado.

Sabemos que devemos provar que ∇   → .   E → = 0 para que provemos que a lei de Gauss está correta, nesse caso devemos lembrar que

∇   → = ∂ ∂ x + ∂ ∂ y +   ∂ ∂ z  

E que

E → = ( E x , E y , E z )

Aplicando isso na lei de Gauss temos (lembrando que nesse caso a multiplicação é escalar)

∇   → .   E → = ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y +   ∂ E z ∂ z

Como só temos componentes na direção X sobra apenas a derivada nessa direção

∇   → .   E → = ∂ E x ∂ x

Porém a componente na direção X só depende de Z e T, logo, se derivarmos em função de X o nosso ∇   → .   E → será igual a zero. Logo a lei de Gauss foi satisfeita.

∇   → .   E → = 0

Passo 2

Para o problema b devemos encontrar a expressão do campo magnético usando a lei de ampère no vácuo na sua forma diferencial. Sabemos que a lei de ampère é

∇   → x   B → = μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t

Passo 3

Sabemos que

∂ E → ∂ t

É a derivada do campo elétrico em função do tempo, e podemos encontrar esse valor pois já conhecemos a Fórmula do campo elétrico

∂ E → ∂ t = ∂ E 0   S e n ( K Z -   ω t ) ∂ t = - ω . E 0   . C o s ( K Z - ω t )   x ^

Agora devemos entender o lado esquerdo da nossa fórmula. Já sabemos que

∇   → = ∂ ∂ x + ∂ ∂ y +   ∂ ∂ z

E B → é dado pela forma

B → = ( B x , B y , B z )

Porem nesse caso o produto entre eles é vetorial, e nesse caso chamamos essa relação de Rotacional de B → e teremos o seguinte

∇   → x   B → = ∂ B z ∂ y - ∂ B y ∂ z i ^ +   ∂ B x ∂ z - ∂ B z ∂ x j ^ + ∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y k ^

Mas sabemos que somente a componente X do Rotacional de B →   existe, então sobra apenas

∇   → x   B → = ∂ B z ∂ y - ∂ B y ∂ z i ^

Mas também sabemos que B → não possui variação na direção y (pois depende apenas das variáveis Z e t), então, o primeiro termo do lado direito é nulo. O que sobra da fórmula é

∇   → x   B → = - ∂ B y ∂ z i ^

Substituindo os valores que encontramos para ∇   → x   B → e ∂ E → ∂ t na fórmula principal teremos

∂ B y ∂ z = μ 0 ε 0 ( - ω . E 0   . C o s K Z -   ω t )

Integrando essa equação em Z teremos

B y = μ 0 ε 0 . ω k . E 0   . S e n K Z -   ω t )

Vetorialmente

B → = μ 0 ε 0 . ω k . E 0   . S e n K Z -   ω t )   j ^

Passo 4

Agora precisamos solucionar a nossa ultima questão, nesse caso a letra c . O nosso objetivo nessa questão é mostrar que o campo elétrico obedece a equação de onda. Outro objetivo é mostrar que ( μ 0 ε 0 ) - 1 2 =C.

Vamos começar pelo primeiro problema.

Sabemos que a equação de onda no vácuo é dada pela fórmula

∇ 2 E → = ∂ ² E → ∂ x ² + ∂ ² E → ∂ y ² +   ∂ ² E → ∂ z ² = μ 0 ε 0 ∂ ² E → ∂ ² t

Mas lembre-se que E → tem componentes apenas nas direções X e que essa componente depende apenas das incógnitas Z e T, ou seja, os 2 primeiros termos do lado esquerdo somem

∂ ² E → ∂ z ² = ∂ ² E → ∂ z ² ( E x i ^ + E y j ^ + E z k ^ )

∂ ² E → ∂ z ² = ∂ ² E x → ∂ z ²

Passo 5

Derivando a função E 0   S e n ( K Z -   ω t ) duas vezes em função de z teremos

∂ ² E x → ∂ z ² = - K 2 . E 0 . S e n ( K Z -   ω t )

Também precisamos resolver a nossa derivada em função do tempo ∂ ² E → ∂ ² t

Derivando duas vezes o nosso campo elétrico em função do tempo, teremos

∂ ² E → ∂ t ² = ∂ ² E → ∂ t ² ( E x i ^ + E y j ^ + E z k ^ )

∂ ² E → ∂ t ² = ∂ ² E x → ∂ t ²

E x = E 0   S e n ( K Z -   ω t )

∂ ² E x → ∂ t ² = - ω 2 . E 0 . S e n ( K Z -   ω t )

Substituindo esse valor na equação principal teremos

- K 2 . E 0 . S e n ( K Z -   ω t ) = μ 0 ε 0 ( - ω 2 . E 0 . S e n ( K Z -   ω t ) )

Cortando os termos iguais sobra apenas

K ω 2 =   μ 0 ε 0

K ω =   μ 0 ε 0

Aqui devemos lembrar que a Relação ω K é igual a velocidade de propagação da luz, invertendo os valores da formula chegamos a conclusão que

C = ( μ 0 ε 0 ) - 1 2

Concluímos então que a relação está correta

Resposta

a) ∇   → .   E → = 0

b) B → = μ 0 ε 0 . ω k . E 0   . S e n K Z -   ω t )   j ^

c) C = ( μ 0 ε 0 ) - 1 2

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