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Exercícios Resolvidos de Equações de Maxwell

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Enunciado

O campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo é dado por E → = E x i ^ + E y j ^ com

E x = - E 1 cos ⁡ ω t - β x + y ,

E y = E 2 cos ⁡ ω t - β x + y

Onde E 1 , E 2 β e ω são constante positivas. O valor máximo atingido pelo módulo do campo elétrico E → = E x 2 + E y 2 = E 0 .

  1. Use a forma diferencial da lei de Gauss para determinar E 1 e E 2 em termos de E 0 .
  2. Sabendo que o campo elétrico satisfaz a equação de onda tridimensional, determine a constante β em termos da velocidade da luz no vácuo c e ω ;
  3. Use a forma diferencial da lei de Faraday para determinar o campo magnético associado ao campo elétrico dado em termos de E 0 , ω e da velocidade da luz no vácuo c .

Passo 1

  1. Use a forma diferencial da lei de Gauss para determinar E 1 e E 2 em termos de E 0 .

    2. A forma diferencial da Lei de Gauss é dada por:

    ∇ ∙ E → = ρ ϵ 0

    ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z = ρ ϵ 0

    Porém temos duas considerações a fazer:

  • O campo elétrico não tem componente no eixo z . Logo, E z = 0 , e sua derivada se anula.
  • No vácuo, nós não temos cargas. Isso significa que a densidade de cargas é nula ρ = 0 .

∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y = 0

E 2 - E 1 β sen ⁡ ω t - β x + y = 0

E 2 - E 1 = 0

E 1 = E 2

Usando o que o problema nos disse:

E x 2 + E y 2 = E 0

E 1 2 + E 2 2 = E 0

E 1 2 = E 0

E 1 = E 2 = E 0 2

Passo 2

  • Sabendo que o campo elétrico satisfaz a equação de onda tridimensional, determine a constante β em termos da velocidade da luz no vácuo c e ω ;

    • Quando a onda eletromagnética se propaga paralelamente a um dos eixos, ela segue a equação de ondas unidimensionais:

    ∂ 2 E ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 E ∂ t 2

    Onde v = c é a velocidade da luz no vácuo (no caso dela se propagando no vácuo). Mas o enunciado nos diz que o campo satisfaz a equação de onda tridimensional!

    A equação de ondas tridimensional é a forma mais geral, que é quando a onda se propaga em uma direção qualquer e por isso derivamos o campo elétrico em relação a todos os eixos!

    ∇ 2 E → = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t 2       →       ∇ 2 E → - 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t 2 = 0

    Onde ∇ 2 E → é uma forma compacta (arquivo .zip) de escrever o seguinte:

    ∇ 2 E → = ∂ 2 E → ∂ x 2 + ∂ 2 E → ∂ y 2 + ∂ 2 E → ∂ z 2

    Como o campo elétrico, agora, teria ele próprio três componentes (ele não é paralelo a nenhum eixo), colocamos a setinha nele e a nossa equação é um resumo das três equações:

    ∇ 2 E x - 1 c 2 ∂ 2 E x ∂ t 2 = 0 ;     ∇ 2 E y - 1 c 2 ∂ 2 E y ∂ t 2 = 0 ;     ∇ 2 E z - 1 c 2 ∂ 2 E z ∂ t 2 = 0

    Juntas em uma! São muitas compactações e resumo, né não? (Não, é preguiça de escrever mesmo, sou sincero)

    Como o campo elétrico só tem as componentes E x e E y , vamos ter só as duas equações:

    ∇ 2 E x - 1 c 2 ∂ 2 E x ∂ t 2 = 0 ;     ∇ 2 E y - 1 c 2 ∂ 2 E y ∂ t 2 = 0

    Vamos abrir a equação em E x .

    ∂ 2 E x ∂ x 2 + ∂ 2 E x ∂ y 2 + ∂ 2 E x ∂ z 2 - 1 c 2 ∂ 2 E x ∂ t 2 = 0

    Como E x não varia com z :

    ∂ 2 E x ∂ z 2 = 0

    Além disso, a derivada segunda em relação a x , y e t vão ser:

    ∂ 2 E x ∂ x 2 = ∂ ∂ x - β E 1 sen ⁡ ω t - β x + y = β 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y ∂ 2 E x ∂ y 2 = β 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y ∂ 2 E x ∂ t 2 = ∂ ∂ t ω E 1 sen ⁡ ω t - β x + y = ω 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y

    Agora vamos jogar TUDO isso na equação, e teremos:

    β 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y + β 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y - ω 2 c 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y = 0

    2 β 2 - ω 2 c 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y = 0

    2 β 2 - ω 2 c 2 = 0

    β = ω 2 c

    Poderíamos fazer a mesma coisa com a componente E y , mas eu já vou te adiantar, pra evitar a trabalheira, que embora a equação mude um pouco, o resultado vai ser o mesmo. (só muda um sinalzinho aqui e ali).

    Passo 3

  • Use a forma diferencial da lei de Faraday para determinar o campo magnético associado ao campo elétrico dado em termos de E 0 , ω e da velocidade da luz no vácuo c .

    • A forma diferencial da Lei de Faraday é dada por:

    - ∂ B → ∂ t = ∇ × E → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z E x E y 0 = ∂ E y ∂ x - ∂ E x ∂ y k ^

    - ∂ B → ∂ t = 2 E 0 β sen ⁡ ω t - β x + y k ^

    ∂ B → = - 2 E 0 β sen ⁡ ω t - β x + y ∂ t   k ^

    Agora só temos que integrar os dois lados:

    B → = 2 E 0 β ω cos ⁡ ω t - β x + y k ^

    B → = E 0 c cos ⁡ ω t - x + y 2 c k ^

    Resposta

    a.

    E 1 = E 2 = E 0 2

    b.

    β = ω 2 c

    c.

    B → = E 0 c cos ⁡ ω t - x + y 2 c k ^

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