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Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

Ver Teoria
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Enunciado

Provas – P1 – 2018.2 – USP – Probabilidade e Estatística – Teste 7

Considere uma caixa contendo 100 sensores de temperatura. Sabe-se que 1 / 3 dos sensores estão descalibrados. Cada sensor é retirado aleatoriamente da caixa para verificação da calibração e depois o sensor é reposto na caixa. O procedimento de retirada, verificação e reposição é realizado seis vezes. A variável aleatória X é igual ao número de sensores descalibrados encontrados após as seis retiradas. Qual a distribuição de probabilidade de X ; ou seja, qual é a função P ( X   =   x ) ?

  1. 5 6 - x ! x ! 2 10 2 x 3 4  
  2. 5 6 - x ! 2 10 2 x 3 4
  3. 6 ! 6 - x ! 1 3 x 2 3 6 - x
  4. 2 3 x 1 3 6 - x
  5. 1 3 x 2 3 6 - x

Passo 1

Falaeee, beleza? Seguinte... Seja a variável aleatória X que representa o número de sensores descalibrados após cada retirada.

Serão retirados seis sensores, com reposição.. ok?

Então.. são 100 sensores e 1 3 deles estão com defeito. Assim, p = 1 3 , sendo p a probabilidade de retirar um sensor com defeito.

Passo 2

Como cada retirada é independente e a probabilidade não se altera (pois há repetição), temos a seguir a expressão para todas as combinações de retirar x sensores defeituosos em 6 tentativas:

P X   =   x = 6 x ∙ 1 3 x ∙ 2 3 6 - x

Onde:

  • 6 x são as combinações possíveis de x defeitos em 6 retiradas;
  • 1 3 x é a probabilidade de retirar x defeituosos;
  • 2 3 6 - x é a probabilidade de retirar 6 - x defeituosos;

Passo 3

Lembrando que a combinação é dada por:

a b = a ! a - b ! b !

Passo 4

Assim, simplificando a equação do Passo 2, temos:

P X   =   x = 6 ! 6 - x ! x ! ∙ 1 3 x ∙ 2 3 6 ∙ 3 2 x ∴

P X   =   x = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 6 - x ! x ! ∙ 1 3 x ∙ 2 6 3 6 ∙ 3 x 2 x ∴

P X   =   x = 5 6 - x ! x ! ∙ 2 10 3 4 ∙ 1 2 x

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

P X   =   x = 5 6 - x ! x ! ∙ 2 10 3 4 ∙ 1 2 x

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