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Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

Provas – P2 – 2018.2 – USP – Probabilidade e Estatística – Teste 2

A função distribuição cumulativa F X ( x ) de uma variável aleatória X é definida da seguinte forma: F X ( x ) igual a 0 para x   <   - 2 , 2 / 9   para   -   2   ≤   x   <   0 , 7 / 9   para   0   ≤   x   <   2 , 1 para x   ≥   2 .

Dentre as afirmações a seguir, quais são verdadeiras?

  1. E X + σ X = 4 / 3 e E X 2 = V [ X ] ;
  2. E a X 2 - b X + c = ( 20 a - 10 b + 9 c ) / 9 , sendo a ,   b ,   c constantes;
  3. E X 2 = 20 / 9 e E X = 10 / 9 .
  1. Só (c)
  2. Só (b)
  3. Só (b) e (c)
  4. Só (a) e (c)
  5. Só (a)

Passo 1

Falaeee, beleza? Seguinte... Vamos analisar cada uma das afirmações.

Pelo que a questão nos deu, temos a seguinte Função de distribuição cumulativa:

F X x = 0 , x < - 2 2 9 ,   2 ≤ x < 0 7 9 ,   0 ≤ x < 2 1 ,   x ≥ 2

Passo 2

Primeiramente, fazendo a função densidade de probabilidade de X , temos:

  • P X = - 2 = 2 / 9

  • P X = 0 = 7 9 - 2 9 = 5 9

  • P X = 2 = 1 - 7 9 = 2 9

Passo 3

Com esses resultados, podemos calcular o valor esperado que é dado por:

E X = ∑ i = 1 ∞ x i p ( x i )

Assim, temos que:

E X = - 2 ∙ 2 9 + 0 ∙ 5 9 + 2 ∙ 2 9 = 0

Passo 4

Além disso, também temos que a variância é dada por:

σ X 2 = E X 2 - E X 2 ∴

σ X 2 = - 2 2 ∙ 2 9 + 0 2 ∙ 5 9 + 2 2 ∙ 2 9 - 0 2 ∴

σ X 2 = 16 9 ∴

σ X = 4 3

Passo 5

Logo, temos que:

E X + σ X = 0 + 4 3 = 4 3

Mas calma que não acabou ainda!

A gente também sabe que V X E = X 2 - E X 2 , porém, como E X = 0 , então V X = E [ X 2 ] , o que torna com que essa alternativa esteja CORRETA!!

Passo 6

Na segunda proposição, por definição, sabe-se que a esperança pode ser tratada como linear, portanto:

E a X 2 - b X + c = a E X 2 - b E X + E c ∴

E a X 2 - b X + c = a ∙ 16 9 - b ∙ 0 + c ∴

E a X 2 - b X + c = 16 a + 9 c 9

Logo, essa afirmativa é FALSA!!

Passo 7

E, por fim, a terceira afirmação haha

E se eu te falar que a gente já fez ela quando estávamos desenvolvendo a primeira afirmativa? Pois é.. Como calculamos anteriormente:

E X 2 = 16 9

E X = 0

Logo, essa afirmativa também é falsa!!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

e)Só (a)

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