Uma variável aleatória 𝑋 discreta tem a seguinte função de probabilidade:

Pede-se:

Calcular o valor do parâmetro , detalhando os passos, para que seja uma função de probabilidade. Apresente a função de probabilidade e seu domínio.

E então, pra achar a função de probabilidade, vamos substituir os valores de que a função nos deu...

Para :

Para :

Para em diante por sua vez, a função correspondente é . Desse jeito, para ...

Já para ;

E para ;

Como podemos ver aí, conforme a gente aumenta o valor de , a função vai diminuindo. Só que ela não para em .

A nossa função , se estende de digamos, até o infinito. Então, na real o que a gente tem que fazer é usar o somatório através de séries.

Se liga, escrevemos o somatório como...

Isso aí é uma série geométrica. Só que começa de e vai até o infinito. Podemos então, escrever a relação anterior como...

E também sabemos que...

Sendo assim, chegamos ao seguinte resultado...

Quanto à qualquer valor de diferente de em diante, o resultado da função vai ser zero. Somando tudo do passo anterior, o resultado tem que ser :

E então, podemos escrever a função de probabilidade, já destacando os subintervalos de domínio, como...