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Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

Ver Teoria
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Enunciado

Provas – P1 – 2018.2 – USP – Probabilidade e Estatística – Teste 9

Um pilar de uma ponte é submetido a uma carga concentrada de valor ( 1 + θ ) / 2 . O método construtivo do pilar garante uma resistência à compressão dada pela densidade de probabilidades f ( x )   = θ para 0 < x   < θ ; e f ( x )   = k para para θ < x   < 1 ; e f ( x ) = 0 para outros valores de x . Calcule a probabilidade do pilar não resistir à carga (ou seja, probabilidade que o particular pilar tenha resistência menor que ( 1 + θ ) / 2 .

  1. 1 - θ 2 / 2
  2. 1 + θ 2 / 2
  3. θ 2 + 1 - θ 2 / 2
  4. 1 + θ 2 / 2
  5. Nenhuma das demais.

Passo 1

Podemos trazer de uma forma mais visível o que nos foi dado no texto apresentando a seguinte função densidade de probabilidade (fdp):

f x = 0 ,   x < 0 θ ,   0 ≤ x ≤ 1 k = θ ≤ x ≤ 1 0 ,   x > 1  

Passo 2

Primeiramente vamos descobrir k sabendo que a probabilidade de todos os valores de x é igual a 1 :

P - ∞ < x < ∞ = P 0 < x < θ + P θ < x < 1 ∴

1 = ∫ 0 θ θ   d x + ∫ θ 1 k   d x ∴

1 = θ ∙ θ + k 1 - θ ∴

k = 1 + θ

Passo 3

Com esse resultado, desejamos achar P x < 1 + θ 2 . Além disso, pode-se perceber que 1 + θ 2 é maior que θ e menor que 1 (para valores de θ entre 0 e 1 ).

Assim, temos:

P x < 1 + θ 2 = P 0 < x < θ + P θ < x < 1 + θ 2 ∴

P x < 1 + θ 2 = ∫ 0 θ θ   d x + ∫ θ 1 + θ 2 1 + θ d x ∴

P x < 1 + θ 2 = θ 2 + 1 - θ 2 2 ∴

P x < 1 + θ 2 = 1 + θ 2 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

P x < 1 + θ 2 = 1 + θ 2 2

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