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Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

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Enunciado

Prova P1 – 2019.1– USP – Probabilidades – Teste 6

Uma cozinheira prepara bolos e deixa a massa descansar um tempo aleatório entre 1 e 3 minutos após o que os coloca no forno. Um estagiário verificou que os bolinhos que descansavam mais de 2 minutos ficavam mais duros que o normal. A densidade de probabilidades do tempo de descanso é f ( t )   =   k t 2 . A probabilidade de dois bolinhos em três produzidos ficarem muito duros é:

  1. n . d . a . ;
  2. 19 26 2 ;
  3. 3 19 26 2 7 26 ;
  4. 3 7 26 10 26   ;
  5. 7 26 19 26 .

Passo 1

Faaalaeee menó, beleza?

Seguinte, a gente sabe que a função densidade de probabilidade (FDP) é dada da seguinte forma para variáveis contínuas:

∫ - ∞ ∞ f x = 1

Em que temos dois intervalos de tempo de descanso dos bolinhos:

  • De 1 a 2 segundos;
  • De 2 a 3 segundos.

Ou seja, sabemos que a probabilidade durante esses 3 minutos é de 100 %. Logo:

P 1 ≤ t < 2 + P 2 ≤ t ≤ 3 = 1

Passo 2

Assim, pela FDP dada na questão, temos:

∫ 1 2 k t 2 d t + ∫ 2 3 k t 2 d t = 1 ∴

k t 3 3 2 1 + k t 3 3 3 2 = 1 ∴

7 k 3 + 19 k 3 = 1 ∴

k = 3 26

Passo 3

Dessa forma, para que dois bolinhos de três estejam duros, temos:

Resolvendo a equação, temos:

P = 3 3 26 t 3 3 3 2 2 ∙ 3 26 t 3 3 2 1 ∴

P = 3 3 26 19 3 2 ∙ 3 26 t 3 3 2 1 ∴

P = 3 19 26 2 7 26

Entendeu direitinho??? Valeeeu!

Resposta

P = 3 19 26 2 7 26

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