Exercícios Resolvidos de Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada
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Probabilidade e Estatística – PUC RJ – 2019.1 – P4 – Questão 3
Uma variável aleatória tem a seguinte função de distribuição acumulada:
Determine:
a) A função de probabilidade, detalhando os passos e mostrando a tabela resultante.
b) , e .
c) .
Passo 1
Prontos para uma questão de distribuição de probabilidade acumulada? Lá vamos nós!!!
Você deve saber que a função de distribuição acumulada dá para gente a probabilidade de variável ser menor que aquele valor, isso é,
Nossa ideia nesse problema é construir a função de probabilidade conhecendo . Para isso, observe que para , temos . Isso significa que nessa região a probabilidade é sempre nula:
Agora note que no intervalo temos . Isso significa que para algum nesse intervalo apareceu uma probabilidade não nula!
É fácil perceber que valor é esse, basta pensar assim: para não tinha aparecido nenhum valor, enquanto para a probabilidade acumulada sofreu um salto para . Isso significa que
Para os demais valores nesse intervalo a probabilidade é nula. Seguindo os demais intervalos fazemos o mesmo raciocínio, sempre olhando para o ponto em sofre um salto.
Em a função salta de para , de modo que
Fazendo o mesmo para o resto:
Portanto, podemos construir a seguinte tabela de probabilidades:
Note que a soma das probabilidades é , como deve ser.
Passo 2
No item (b) queremos calcular várias probabilidades! A primeira é
Não existe nenhum valor de em que a probabilidade não é nula. Para temos
Aqui vale uma observação importante: como ele pediu a probabilidade de , não podemos incluir a probabilidade de . Cuidado para não cair nessas pegadinhas!
Já para :
Nesse caso vale a mesma observação: não podemos incluir o caso pois ele pede a probabilidade de .
Passo 3
Por fim, no item (c) queremos a probabilidade de estra entre e :
Logo,
Esse problema foi tranquilo, né? 😉
Resposta
a) , , , e .
b) , e .
c) .