P1 de Álgebra Linear da UFRJ - 2014.1

Quais valores para e fazem com que o vetor seja uma combinação linear de e ?

e

e

e

e

Considere o conjunto de matrizes da forma , com as seguintes operações de soma e multiplicação por escalar:

e

Assinale a alternativa FALSA:

A soma de dois elementos de está em .

vale para todo .

Todo elemento de possui inverso aditivo (negativo).

é um espaço vetorial.

Qual dentre as proposições abaixo é VERDADEIRA?

Todo conjunto gerador de contém os vetores e .

O espaço gerado pelos vetores é .

O conjunto gerador de um espaço está contido em .

Cada vetor de pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores e .

Qual dentre as proposições abaixo é VERDADEIRA?

Se e são tais que e , então o conjunto é sempre linearmente dependente.

Se o conjunto é linearmente independente, então o conjunto também é linearmente independente, para todo número real .

Se e são tais que e , então o conjunto é sempre linearmente independente.

Se , então o conjunto é sempre linearmente dependente.

Se é um conjunto gerador de , onde é o conjunto de soluções de

então:

pode ser .

pode ser .

pode ser .

Qualquer dois vetores de formam uma base para .

Seja um espaço vetorial de dimensão , então é VERDADE que:

Todo subconjunto linearmente independente de gera .

Todo subconjunto gerador de é linearmente independente.

Todo subconjunto de com mais do que vetores é linearmente dependente.

Nem todo subconjunto de com vetores linearmente independentes é uma base de .

Suponha que . Então, a dimensão da imagem de será igual a:

Lembre-se que para a multiplicação da matriz por um vetor coluna vale: onde e .

Seja e tal que e e tal que .

Então para :

.

.

.

Quais valores de e fazem com que o sistema linear a seguir não tenha solução?

Seja a matriz obtida de através da seguinte sequência de operações elementares:

Qual dentre as seguintes matrizes é a matriz ORIGINAL?

Dada uma matriz , podem existir vetores não nulos , tais que , onde (nesse caso é dito autovetor de associado ao escalar ).

Suponha que e . Então, se sabemos que a primeira coordenada de é igual a , a soma das coordenadas de será igual a:

A soma dos componentes do vetor solução do sistema linear representado pela matriz aumentada é:

Seja gerado por . Sabendo que uma base de possui dois elementos, assinale a resposta CORRETA:

Todos os conjuntos são linearmente independentes.

Um dos conjuntos é linearmente independente.

Um dos conjuntos é linearmente dependente.

Um dos conjuntos é linearmente dependente.

O conjunto é linearmente dependente e o conjunto é linearmente independente. Seja a matriz cujas colunas são os vetores . Assinale a resposta CORRETA:

O sistema não possui solução.

O sistema possui solução única.

O sistema não possui solução.

O sistema possui solução única.