P4 de Álgebra Linear da UFRJ - 2016.1

Considere o sistema :

1. Se é diagonalizável, então o sistema sempre tem solução, qualquer que seja o vetor .
2. Se é simétrica, então o sistema sempre tem solução única, qualquer que seja o vetor .

é falsa e é falsa

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira.

é verdadeira e é verdadeira

Calcule o determinante da matriz abaixo:

As coordenadas do vetor na base são . Se , calcule :

Seja . Para , o valor de :

é positivo, negativo, ou zero, dependendo de

é sempre positivo, independentemente de

é sempre negativo, independentemente de

é sempre negativo ou zero, independentemente de

Assinale a matriz abaixo cujo núcleo é a reta e cuja imagem é a reta :

Sejam , e matrizes quadradas tal que :

1. Se e são diagonalizáveis, então é diagonalizável.
2. Se e não são diagonalizáveis, então não é diagonalizável.

é verdadeira e é falsa

é falsa e é falsa

é falsa e é verdadeira

é verdadeira e é verdadeira

Sejam a base canônica de e . Considere a transformação linear tal que a matriz de com relação à base é dada por . Se , então é igual a:

Assinale a área do triângulo definido pelos pontos e :

Seja o paralelogramo determinado por dois vetores linearmente independentes, e , e uma transformação linear de em :

1. Se , então a área de é nula.
2. Se , então

é falsa e é falsa

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira

é verdadeira e é verdadeira

Calcule a terceira coordenada do vetor na base ortogonal

Seja , , e a matriz identidade. Assinale a matriz abaixo que possui dois autovetores ortogonais:

Seja o espaço dos polinômios da forma e seja a transformação derivada, . Defina , onde denota a transformação identidade em .

1. é injetiva.
2. é sobrejetiva.

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira

é falsa e é falsa

é verdadeira e é verdadeira

Considere os seguintes subconjuntos de :

1. é um subespaço vetorial de e
2. é um subespaço vetorial de e

A afirmativa é falsa e a é falsa

A afirmativa é verdadeira e a é verdadeira

A afirmativa é falsa e a é verdadeira

A afirmativa é verdadeira e a é falsa

Encontre o plano da forma que melhor ajusta, no sentido dos mínimos quadrados, os pontos , , e . Os coeficientes e valem:

e

e

e

e

Sejam uma matriz quadrada e a imagem de . É dado que a solução geral do sistema é , com . É correto afirmar que , a projeção ortogonal de sobre é sempre igual a: