A2 T6
Seja um espaço vetorial de dimensão , então é VERDADE que:
Todo subconjunto linearmente independente de gera .
Todo subconjunto gerador de é linearmente independente.
Todo subconjunto de com mais do que vetores é linearmente dependente.
Nem todo subconjunto de com vetores linearmente independentes é uma base de .
Passo 1
Vamos lá, letra por letra:
Vou provar que essa tá errada com um exemplo:
Temos que de fato é um subconjunto de linearmente independente, no entanto sabemos que ele não é capaz de gerar o .
Passo 2
Vou te dar um exemplo de novo:
Temos que é um subconjunto de que gera o inteiro! No entando ele não é !
Passo 3
Vamos imaginar que a alternativa é falsa. Nesse caso podemos ter um subconjunto com mais do que vetores que é linearmente independente.
Se temos um subconjunto com mais do que vetores então esse subconjunto gera um espaço de dimensão maior que .
Mas sabemos que a dimensão de um subconjunto está limitada à dimensão do espaço em que ele está contido. E esse subconjunto se encontra dentro do espaço vetorial , logo sua dimensão é no máximo .
Encontramos que a dimensão do subconjunto é maior que e menor ou igual a ao mesmo tempo, o que é um absurdo! Então nossa hipótese era falsa e essa letra é verdadeira!
Passo 4
Vamos verificar a por fins de aprendizado haha. Po ela recita a definição de base e depois afirma que isso não é necessariamente uma base :p, com certeza tá errada.
Todo subconjunto do com vetores é uma base do . Da mesma forma, todo subconjunto do com vetores é uma base do . E, é claro que todo subconjunto de (dimensão ) com vetores será uma base de !
Resposta
Letra