A1 T11 T21
Seja gerado por . Sabendo que uma base de possui dois elementos, assinale a resposta CORRETA:
Todos os conjuntos são linearmente independentes.
Um dos conjuntos é linearmente independente.
Um dos conjuntos é linearmente dependente.
Um dos conjuntos é linearmente dependente.
Passo 1
Vamos estabelecer que para fins de contra-exemplos ok? Como uma base de tem elementos então ele também tem dimensão então é uma boa comparação para eliminarmos algumas opções falsas. Vamos lá:
Vamos tomar que gera o . Mas repare que o conjunto não é . Essa é falsa.
Passo 2
Essa é a correta. Se gera , então tem uma base de dentro desse conjunto concorda? Para chegarmos à essa base basta retirarmos os vetores do conjunto. Esse vetor será o ou o ou o .
De qualquer forma, um dos conjuntos será a tal base e consequentemente será .
Perceba que se nenhum dos conjuntos fosse , eles seriam . Isso quer dizer que todos os vetores são entre si e portanto geram apenas uma reta! Reta essa que nunca poderia ser já que este tem dimensão .
Passo 3
Para que um conjunto com apenas um vetor seja este tem que ser o vetor nulo. No entando o vetor nulo não necessariamente estará no conjunto gerador de , portanto essa alternativa não vale para todo conjunto . Por exemplo o conjunto exemplo da letra que não possui o vetor nulo:
Passo 4
Não necessariamente também, é possível, mas não necessário. Veja este exemplo:
Temos que , , são todos conjuntos .
Resposta
Letra