Seja V gerado por u → , v → , w → . Sabendo que uma base de V possui dois elementos, assinale a resposta CORRETA:

( a ) Todos os conjuntos u → , v → ,   u → , w → ,   v → , w → são linearmente independentes.

( b ) Um dos conjuntos u → , v → ,   u → , w → ,   v → , w → é linearmente independente.

( c ) Um dos conjuntos u → , v → , w → é linearmente dependente.

( d ) Um dos conjuntos u → , v → ,   u → , w → ,   v → , w → é linearmente dependente.

Passo 1

Vamos estabelecer que V = R 2 para fins de contra-exemplos ok? Como uma base de V tem 2 elementos então ele também tem dimensão 2 então é uma boa comparação para eliminarmos algumas opções falsas. Vamos lá:

a Vamos tomar u → , v → , w → = 1,0 , 0,1 , 2,0 que gera o R 2 . Mas repare que o conjunto u → , w → = 1,0 , 2,0 não é L I . Essa é falsa.

Passo 2

b Essa é a correta. Se u → , v → , w → gera V , então tem uma base de V dentro desse conjunto concorda? Para chegarmos à essa base basta retirarmos os vetores L D do conjunto. Esse vetor L D será o v → ou o u → ou o w → .

De qualquer forma, um dos conjuntos u → , v → ,   u → , w → ,   v → , w → será a tal base e consequentemente será L I .

Perceba que se nenhum dos conjuntos u → , v → ,   u → , w → ,   v → , w → fosse L I , eles seriam L D . Isso quer dizer que todos os vetores são L D entre si e portanto geram apenas uma reta! Reta essa que nunca poderia ser V já que este tem dimensão 2 .

Passo 3

c Para que um conjunto com apenas um vetor seja L D este tem que ser o vetor nulo. No entando o vetor nulo não necessariamente estará no conjunto gerador de V , portanto essa alternativa não vale para todo conjunto u → , v → , w → . Por exemplo o conjunto exemplo da letra a que não possui o vetor nulo:

1,0 , 0,1 , 2,0

Passo 4

d Não necessariamente também, é possível, mas não necessário. Veja este exemplo:

u → , v → , w → = 1,0 , 0,1 , 1,1

Temos que 1,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 , 0,1 , 1,1 são todos conjuntos L I .

Resposta

Letra ( b )

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