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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

A5 T3

Sejam R : R 2 → R 2 a reflexão ortogonal através da reta y = x e S : R 2 → R 2 a reflexão ortogonal através da reta y = - x . Qual é o polinômio característico p λ de T = R S

a   p λ = λ 2

b   p λ = λ λ + 1

c   p λ = λ + 1 2

d   p λ = λ λ - 1

Passo 1

Podemos escrever as matrizes em suas formas diagonalizadas:

R = 1 1 1 - 1 1 0 0 - 1 1 1 1 - 1 - 1

S = 1 1 1 - 1 - 1 0 0 1 1 1 1 - 1 - 1

E agora multiplicamos as duas:

T = R S = 1 1 1 - 1 1 0 0 - 1 1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 - 1 ⏟ I - 1 0 0 1 1 1 1 - 1 - 1

T = 1 1 1 - 1 1 0 0 - 1 - 1 0 0 1 1 1 1 - 1 - 1

T = 1 1 1 - 1 - 1 0 0 - 1 1 1 1 - 1 - 1

Olha que beleza, caímos na T diagonalizada! E como podemos ver, ela tem dois autovalores - 1 ! Então a resposta tem que ser a c .

Você podia ter chegado nessa mesma conclusão analisando o efeito de T . Primeiro nós aplicamos S , refletindo os vetores da reta x = y e mantendo inalterados os vetores da reta x = - y . Em seguida aplicamos R , mantendo agora inalterados os vetores da reta x = y e refletindo os da reta x = - y ! Então no final das contas refletimos as duas retas ortogonais, e acabamos com uma reflexão pela origem que só tem autovalores - 1 !

Os dois jeitos de resolver estão certos, mas tem gente que gosta mais da parte matemática (primeiro jeito) e tem gente que gosta mais de analisar geometricamente (segundo jeito). Faça do jeito que se sentir mais confiante! ;)

Resposta

Letra c

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.