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Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

A5 T9

Considere a matriz A = - 4 3 - 6 5 e o vetor u = - 11,13 . Qual é a direção aproximada do vetor A 99 u ?

a   A direção do vetor - 1,2

b   A direção do vetor - 1,1

c   A direção do vetor 1,1

d   A direção do vetor 1,2

Passo 1

Bom, para elevar uma matriz a qualquer expoente temos que primeiro diagonalizar ela né? Vamos usar o método do determinante e do traço para achar os autovalores:

det ⁡ A = λ 1 ∙ λ 2 = - 2

t r A = λ 1 + λ 2 = 1

Então temos λ 1 = - 1 e λ 2 = 2 . Se você não for muito bom nessa coisa de soma e produto pode fazer do jeito convencional mesmo haha.

Agora vamos achar os autovetores:

λ = - 1 :

- 4 + 1 3 - 6 5 + 1 0 0 = - 3 3 - 6 6 0 0 ~ - 1 1 0 0 0 0

- x + y = 0 ⇒ x = y

V - 1 = 1,1

λ = 2 :

- 4 - 2 3 - 6 5 - 2 0 0 = - 6 3 - 6 3 0 0 ~ - 2 1 0 0 0 0

- 2 x + y = 0 ⇒ 2 x = y

V - 1 = 1,2

Então, temos:

A = P D P - 1 = 1 1 1 2 - 1 0 0 2 1 1 1 2 - 1

Invertendo P :

P - 1 = 1 det ⁡ P 2 - 1 - 1 1 = 2 - 1 - 1 1

Finalmente:

A = 1 1 1 2 - 1 0 0 2 2 - 1 - 1 1

A 99 = 1 1 1 2 - 1 0 0 2 99 2 - 1 - 1 1

A 99 = 1 1 1 2 - 1 0 0 2 99 2 - 1 - 1 1

A 99 = - 1 2 99 - 1 2 ∙ 2 99 2 - 1 - 1 1

A 99 = - 2 - 2 99 1 + 2 99 - 2 - 2 ∙ 2 99 1 + 2 ∙ 2 99

Agora aplicamos u :

A 99 u = - 2 - 2 99 1 + 2 99 - 2 - 2 ∙ 2 99 1 + 2 ∙ 2 99 - 11 13

Repare que 2 99 é muito grande comparado o 2 e ao - 1 que estão somando, então como queremos a direção aproximada, podemos desconsiderar eles:

A 99 u ≈ - 2 99 2 99 - 2 ∙ 2 99 2 ∙ 2 99 - 11 13 = 2 99 24 48 = 24 ∙ 2 99 1 2

Temos um escalar (um enorme, mas continua sendo um escalar) multiplicado pelo vetor 1,2 . Então esse vetor tem a mesma direção do 1,2 concorda? E está aí a nossa resposta haha.

Resposta

Letra d

Exercícios de Livros Relacionados

Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .