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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

A2 T16

Quais são todos os valores de a ∈ R para os quais a transformação linear T : R 3 → R 3 dada por T x , y , z = a x + 2 a y + z , a y + 2 z , a x + y - z é invertível?

a   a ≠ 0

b   a ∉ 0,1

c   a ∉ 0 , - 1

d   a qualquer

Passo 1

O primeiro passo é encontrarmos a matriz na forma canônica de T :

T x , y , z = a x + 2 a y + z a y + 2 z a x + y - z = a 2 a 1 0 a 2 a 1 - 1 x y z

Para T ser invertível, sua representação matricial na base canônica também tem que ser. Escalonando:

a 2 a 1 0 a 2 a 1 - 1 → L 3 ← L 3 - L 1 a 2 a 1 0 a 2 0 1 - 2 a - 2 → L 3 ← L 3 + L 2 a 2 a 1 0 a 2 0 1 - a 0 → L 1 ← L 1 - L 2 2 a 3 a 2 0 0 a 2 0 1 - a 0

Temos que a matriz não será invertível se alguma de suas linhas for igual à zero! No caso podemos zerar a última linha se a = 1 ou zerar a primeira linha se a = 0 ! Então precisamos que a ∉ 0,1 para que T seja invertível.

Resposta

Letra b

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