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Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

A2 T10 T13 T14

Considere as seguintes afirmações:

I A transformação H : A → A T que leva uma matriz na sua transposta é linear.

I I Não existe transformação linear T : R 8 → R 5 que seja sobrejetiva.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

a   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

b   A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

c   A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

d   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I :

Vamos verificar se H é linear:

H A + B = A + B T = A T + B T = H A + H B

Certinha! Agora vamos ver o produto por escalar:

H λ A = λ A T = λ A T = λ H A

Certinho também, então H é linear sim! Verdadeira.

Passo 2

Afirmativa I I :

Se T é sobrejetiva então:

dim ⁡ I m T = dim ⁡ C D o m T = 5

Pelo T N I :

dim ⁡ I m T + dim ⁡ N u c T = dim ⁡ D o m T

5 + dim ⁡ N u c T = 8

dim ⁡ N u c T = 3

Bom, a dimensão do núcleo deu um número natural. E ela é menor que a dimensão do domínio (espaço no qual o núcleo está contido), então nada impede que exista uma transformação linear T : R 8 → R 5 que seja sobrejetiva. Essa é falsa.

Resposta

Letra a