Quais valores de α e β fazem com que o sistema linear a seguir tenha solução única?

1 - 3 2 3 - 2 9 - 5 - 6 - 1 0 - 3 + α - 3 2 0 2 12 x y z w = 0 1 2 + β 2

( a ) α ≠ 2 , β ∈ R

( b ) α ≠ 1 , β ∈ R

( c ) α = 3 ,   β ≠ - 2

( d ) α ≠ 1 , β = - 3

Passo 1

Vamos começar escalonando o sistema pra conseguirmos falar algo sobre ele:

1 - 3 2 3 - 2 9 - 5 - 6 - 1 0 - 3 + α - 3 2 0 2 12 0 1 2 + β 2 → L 2 ← L 2 + 2 L 1 L 3 ← L 3 + L 1 L 4 ← L 4 - 2 L 1 1 - 3 2 3 0 3 - 1 0 0 - 3 - 1 + α 0 0 6 - 2 6 0 1 2 + β 2 → L 3 ← L 3 + L 2 L 4 ← L 4 - 2 L 2 1 - 3 2 3 0 3 - 1 0 0 0 - 2 + α 0 0 0 0 6 0 1 3 + β 0

Para que o sistema tenha solução única, não podemos ter uma linha zerada. Caso contrário, teríamos mais variáveis que equações, o que implica em infinitas soluções.

Para que nenhuma linha fique zerada, precisamos apenas que α ≠ 2 . Com isso garantimos que o sistema sempre tem solução única para qualquer valor de β ∈ R .

Resposta

Letra ( a )

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22