Sejam V um espaço vetorial de dimensão n . Considere as seguintes afirmações:

I Todo conjunto gerador de V é linearmente independente.

I I Dados dois subespaços de V , a dimensão do subespaço obtido pela interseção entre eles não pode ser maior que n .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I :

Falsa né gente? Se pegarmos uma base de V :

v 1 , v 2 , … , v n

E acrescentarmos por exemplo o vetor v 1 + v 2 :

v 1 , v 2 , … , v n , v 1 + v 2

Ela continua gerando V , mas não é L I .

Afirmativa I I :

A maior interseção possível vai ser obtida quando os dois subespaços de V forem o próprio V haha. Lembrando que V é um subespaço de V ! Nesse caso teremos que a interseção de V com V é o próprio V , que tem dimensão n .

Também podemos pensar que a interseção de dois subespaços de V também é um subespaço de V , e portanto tem sua dimensão limitada por V . Então sua a dimensão máxima é n .

Essa é verdadeira.

Resposta

Letra ( c )

Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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