A5 T6
Sejam , e matrizes quadradas tal que :
- Se e são diagonalizáveis, então é diagonalizável.
- Se e não são diagonalizáveis, então não é diagonalizável.
é verdadeira e é falsa
é falsa e é falsa
é falsa e é verdadeira
é verdadeira e é verdadeira
Passo 1
Beleza, vamos usar um pouco a cabeça nessa haha. Vou dar alguns contra exemplos dessas afirmações ;)
Afirmativa :
Bom, aparentemente não tem nenhuma propriedade, nem nada do tipo que garanta pra gente que o produto de matrizes diagonalizáveis vai ser sempre diagonalizável. E de fato, essa é falsa! Vou te dar um exemplo:
As duas primeiras matrizes são diagonalizáveis (pode conferir se quiser), mas o resultado não é! A matriz nesse caso só tem uma direção de autovetores e portanto não é diagonalizável. Então essa é falsa.
Essa afirmativa é particularmente difícil de se provar errada sem um contra exemplo. Se serve de consolo essa era uma questão que valia ponto extra na prova, por isso a dificuldade haha.
Passo 2
Afirmativa :
Para uma matriz ser diagonalizável ela deve possuir uma base de autovetores certo? Então se pegarmos duas matrizes no : uma rotação de no sentido horário e uma rotação de no sentido anti-horário, ambas não são diagonalizáveis certo? Afinal, elas não tem nenhum autovetor!
Mas se fizermos o produto delas veremos que uma gira um vetor de pra um lado, e a outra gira ele de volta de para o outro lado! Ou seja, ele permanece parado!
Nesse caso, temos que , já que se aplicarmos em qualquer vetor ele fica parado. E não só é diagonalizável, como já é até diagonal haha. Logo, essa é falsa.
Resposta
Letra