A3 T12 A5 T3 T7
Considere o sistema :
- Se é diagonalizável, então o sistema sempre tem solução, qualquer que seja o vetor .
- Se é simétrica, então o sistema sempre tem solução única, qualquer que seja o vetor .
é falsa e é falsa
é verdadeira e é falsa
é falsa e é verdadeira.
é verdadeira e é verdadeira
Passo 1
Essa parece complicada né? Se liga, não temos nenhuma relação direta entre uma matriz ser ou não simétrica/diagonalizável e o sistema que ela representa ter solução ou não!
Ué, se não temos relação então como resolvemos? Bom, repare que ambas as alternativas usam a palavra ‘sempre’. Ou seja, basta arrumarmos um único exemplo que desbanque essas afirmativas para marcarmos como falsas! E é isso o que vamos fazer!
Passo 2
Uma coisa interessante de se lembrar aqui é da matriz projeção!! O fato é que a matriz projeção é sempre simétrica e portanto, pelo Teorema Espectral, é sempre diagonalizável!
Mas o sistema formado pela matriz projeção nem sempre tem solução! Por exemplo, imagine a projeção em uma reta no dada por :
Concorda que se não estiver na reta aonde estamos projetando o sistema não terá solução? Pois nunca vai gerar um vetor fora dessa reta!
Da mesma forma, sabemos que a matriz projeção possui autovalor ! Isso quer dizer que ela possui um núcleo com dimensão maior que zero. Logo, ela não é injetiva, e não tem solução única!
Ou seja, ambas são falsas!
Resposta
Letra