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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

A2 T11 T12 T13

Seja P 2 o espaço dos polinômios da forma p x = a x 2 + b x + c e seja D : P 2 → P 2 a transformação derivada, D p = p ' . Defina T = D + I , onde I denota a transformação identidade em P 2 .

  1. T é injetiva.
  2. T é sobrejetiva.

( a ) I é verdadeira e I I é falsa

( b ) I é falsa e I I é verdadeira

( c ) I é falsa e I I é falsa

( d ) I é verdadeira e I I é verdadeira

Passo 1

Vamos tentar identificar o que essa transformação faz e passar ela pra forma de uma matriz! Temos que:

T p = D + I p = D p + I p = p ' + p

Logo,

T a x 2 + b x + c = 2 a x + b ⏟ p ' + a x 2 + b x + c ⏟ p = a x 2 + 2 a + b x + b + c

Se escrevermos os polinômios em função da base canônica x 2 , x , 1 , temos:

T a , b , c = a , 2 a + b , b + c = a 2 a + b b + c = 1 0 0 2 1 0 0 1 1 a b c

Então, a matriz que representa T é:

T = 1 0 0 2 1 0 0 1 1

Como a matriz é quadrada tem vários jeitos de vermos se ela é ou não injetiva e sobrejetiva. Se escalonarmos por exemplo, temos que:

1 0 0 2 1 0 0 1 1 → L 2 ← L 2 - 2 L 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 → L 3 ← L 3 - L 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Nenhuma linha zerou! Logo, todas as linhas são L I o que implica que a matriz é sobrejetiva e injetiva (a implicação só vale porque ela é quadrada!). Ambas são verdadeiras.

Resposta

Letra ( d )

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Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
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Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .