Seja o espaço dos polinômios da forma e seja a transformação derivada, . Defina , onde denota a transformação identidade em .
- é injetiva.
- é sobrejetiva.
é verdadeira e é falsa
é falsa e é verdadeira
é falsa e é falsa
é verdadeira e é verdadeira
Passo 1
Vamos tentar identificar o que essa transformação faz e passar ela pra forma de uma matriz! Temos que:
Logo,
Se escrevermos os polinômios em função da base canônica , temos:
Então, a matriz que representa é:
Como a matriz é quadrada tem vários jeitos de vermos se ela é ou não injetiva e sobrejetiva. Se escalonarmos por exemplo, temos que:
Nenhuma linha zerou! Logo, todas as linhas são o que implica que a matriz é sobrejetiva e injetiva (a implicação só vale porque ela é quadrada!). Ambas são verdadeiras.
Resposta
Letra