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Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P1 2016.1, questão 7

Considere a curva C parametrizada por r t = t 2 , t 3 , t 4 ,   t ≥ 0 . O vetor tangente a C no ponto P o é paralelo ao vetor u → = 4,3 , 2 . Encontre P 0 .

Passo 1

Vamos começar calculando o vetor tangente. Temos:

r ' t = 2 t , 3 t 2 , 4 t 3 ,   t ≥ 0

Passo 2

Como r ' t é paralelo ao vetor u → , vamos ter a seguinte relação:

r ' t = 2 t , 3 t 2 , 4 t 3 = λ 4,3 , 2

Temos?

2 t = 4 λ

3 t 2 = 3 λ

4 t 3 = 2 λ

Da primeira equação, t = 2 λ . Substituindo na segunda equação temos:

3 2 λ 2 = 3 λ

Resolvendo:

12 λ ² = 3 λ

λ = 1 4

Passo 3

Como λ = 1 4 , vamos ter :

r ' t = 2 t , 3 t 2 , 4 t 3 = λ 4,3 , 2

2 t , 3 t 2 , 4 t 3 = 1 , 3 4 , 2 4

Da primeira componente:

t = 1 2

Passo 4

Só falta calcular r 1 2 . Fica:

r 1 2 = 1 4 , 1 8 , 1 16

Resposta

P 0 = r 1 2 = 1 4 , 1 8 , 1 16