Considere a curva C parametrizada por r(t) = (t^2, t^3, t^4), t >= 0 . O vetor tangente a C no ponto P_o é paralelo ao vetor u = (4,3, 2) . Encontre P0 .

Passo 1

Vamos começar calculando o vetor tangente. Temos:

r ' t = 2 t , 3 t 2 , 4 t 3 ,   t ≥ 0

Passo 2

Como r ' t é paralelo ao vetor u → , vamos ter a seguinte relação:

r ' t = 2 t , 3 t 2 , 4 t 3 = λ 4,3 , 2

Temos?

2 t = 4 λ

3 t 2 = 3 λ

4 t 3 = 2 λ

Da primeira equação, t = 2 λ . Substituindo na segunda equação temos:

3 2 λ 2 = 3 λ

Resolvendo:

12 λ ² = 3 λ

λ = 1 4

Passo 3

Como λ = 1 4 , vamos ter :

r ' t = 2 t , 3 t 2 , 4 t 3 = λ 4,3 , 2

2 t , 3 t 2 , 4 t 3 = 1 , 3 4 , 2 4

Da primeira componente:

t = 1 2

Passo 4

Só falta calcular r 1 2 . Fica:

r 1 2 = 1 4 , 1 8 , 1 16

Resposta

P 0 = r 1 2 = 1 4 , 1 8 , 1 16

Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

Ver Teoria