UFRJ, Cálculo 2, P1 2016.1, questão 14
A curva parametrizada por , intercepta ortogonalmente o plano . Qual o valore de ?
Passo 1
Primeiramente, vamos reparar o seguinte: A curva intercepta ortogonalmente o plano, em outras palavras, o vetor tangente a curva no ponto de interseção é normal ao plano.
Então vamos calcular o vetor tangente a curva :
Passo 2
Percebemos no passo anterior que esse vetor é normal ao plano, ou seja, ele é paralelo ao vetor normal ao plano.
Sabemos que um vetor normal ao plano é formado pelos coeficientes que multiplicam . No caso do plano fornecido temos:
Portanto,
Passo 3
Como é paralelo a , temos:
Da primeira componente
Da segunda componente
Passo 4
Logo, no ponto de interseção a curva assume os valores:
Como é o ponto de interseção, esses valores devem satisfazer a equação do plano. Então:
Portanto: