Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

Ver Teoria
Exercício 15123456789101112131416171819202122232425262728293031323334353637

Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P1 2016.1, questão 12

Duas partículas A e B se deslocam em movimentos circulares com as trajetórias descritas respectivamente por :

r A t = R c o s t 2 ,   R s e n t 2

r B t = R c o s t 3 , R s e n t 3

Com t medido em segundos e R em metros. As duas partem do ponto P 0 = R , 0 e se encontram pela primeira vez no ponto P 1 com velocidade (escalar) relativa de B em relação a A igual a ?

Passo 1

Primeiramente, vamos encontrar o ponto P 1 onde as partículas se encontram. Temos:

r A t 1 = r B t 1

R c o s t 1 2 ,   R s e n t 1 2 = R c o s t 1 3 , R s e n t 1 3

Temos duas equações:

R c o s t 1 2 = R c o s t 1 3

R s e n t 1 2 = R s e n t 1 3

Da primeira equação, supondo R ≠ 0 temos:

cos ⁡ t 1 2 = cos ⁡ t 1 3

Ajeitando:

arccos ⁡ cos ⁡ t 1 2 = arccos ⁡ cos ⁡ t 1 3

t 1 2 = t 1 3

Passando tudo para o lado esquerdo:

t 1 3 - t 1 2 = 0

t 1 2 t 1 - 1 = 0

O enunciado diz que t 1 ≠ 0 , então t 1 = 1 .

Logo, o ponto que elas se encontram é P 1 = R c o s 1 ,   R s e n 1

Passo 2

Agora vamos encontrar o vetor velocidade de cada curva. Então:

r ' A t = - 2 t R s e n t 2 , 2 t R c o s t 2

r ' B t = - 3 t 2 R s e n t 3 , 3 t 2 R c o s t 3

Para t 1 = 1 , temos:

r ' A t = - 2 R s e n 1 , 2 R c o s 1

r ' B t = - 3 R s e n 1 , 3 R c o s 1

Passo 3

Falta apenas encontrar a velocidade escalar de cada uma das partículas e calcular a velocidade de B em relação a A . Então bora lá, começando pela velocidade escalar de A :

v a = r A ' = - 2 R s e n 1 2 + 2 R c o s 1 2 = 4 R 2 = 2 R

Calculando a velocidade escalar de B :

v b = r B ' = - 3 R s e n 1 2 + 3 R c o s 1 2 = 9 R 2 = 3 R

O problema quer a velocidade escalar relativa de B em relação a A . Então fazemos:

v B - A = v b - v a = 3 R - 2 R = R

Resposta

R

Exercícios de Livros Relacionados

(Regra da Cadeia). Sejam t → u t ,t ∈ I , u → F → u ∈ R n ,u ∈ J , funções deriváveis, onde I e J são intervalos em R . Suponha que, para todo t ∈ I , u t ∈ J . Prove que a função H → dada por H → t =
Calcule (d vec F)/(d t) e (d^2 vec F)/(d t^2) .vec F (t) = (3 t^2 , e^(- t) , ln ( t^2 + 1 ))
Suponha que μ p θ =c o s θ i - +s e n θj - , u θ θ =- s e n θi - + c o s θj - , r t = p t u p ( θ ( t ) ) , com θ = θ ( t ) e p = p ( t ) deriváveis até a segunda ordem no intervalo I . N o t a ç ã o
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:d) f → t = e - t i → + e - 2 t j → + k →
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:e) g → t = ln ⁡ t i → + tj → + tk →