O comprimento da curva parametrizada por r t = t c o s t ,   t s e n t , 2 3 2 t 3 2 , t ∈ [ 0,2 π ] é?

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula de comprimento de arco:

L = ∫ t 1 t 2 r ' ( t ) d t

Podemos começar encontrando r ' t = cos ⁡ t - t s e n t ,   s e n t + t c o s t ,   2 t 1 2

Agora, podemos calcular:

r ' t = cos ⁡ t - t s e n t 2 + s e n t + t c o s t 2 + 2 t 1 2 2

Ajeitando:

r ' t = cos ⁡ t 2 - 2 t c o s t s e n t + t 2 s e n t 2 + s e n t 2 + 2 t c o s t s e n t + t 2 c o s t 2 + 2 t

Então fica:

r ' t = t 2 + 2 t + 1

Finalmente:

r ' t = | t + 1 |

Como t ∈ [ 0,2 π ] , t + 1 = t + 1 . Portanto temos:

r ' t = t + 1

Passo 2

Só falta integrar, vamos ter:

L = ∫ t 1 t 2 r ' ( t ) d t

Substituindo:

L = ∫ 0 2 π t + 1 d t

Integrando:

L = t 2 2 + t 2 π 0 = 2 π π + 1 - 0 = 2 π π + 1

Resposta

2 π π + 1

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