UFRJ, Cálculo 2, P1 2016.1, questão 3
Um tanque contém de água. Uma solução com concentração salina de é adicionada a uma taxa de . A solução é mantida misturada e é retirada do tanque a uma taxa de . Se é a quantidade de sal (em ) após minutos, qual a equação diferencial que modela essa mistura ?
Passo 1
Primeira coisa a fazer é lembrar que, em questões de mistura, podemos modelar o problema da seguinte forma:
Lembrando que expressa a taxa de variação da quantidade de sal no decorrer do tempo, logo faz sentido que essa medida seja expressa em .
Logo, também faz sentido que as taxas de entrada e de saída também tenham dimensão .
Passo 2
Agora vamos calcular a taxa de sal que entra no tanque. Temos:
Substituindo os valores fornecidos no problema, temos:
Passo 3
Falta calcular a taxa de sal que sai do tanque. Temos:
A taxa de retirada é fornecida diretamente pelo problema:
Agora temos de encontrar a concentração de sal no tanque.
Se pararmos para pensar, conseguimos perceber que a concentração de sal no tanque em um instante é a quantidade de sal no tanque naquele instante , dividido peloo volume do tanque naquele instante. Ou seja:
Passo 4
Então, só nos falta encontrar o volume do tanque. Uma solução é adicionada a taxa , porém ocorre uma retirada na taxa de .
Portanto, a taxa de variação real que o tanque está sujeito é:
Agora, vem o “pulo do gato”. Pense, se você tem a taxa de variação do volume, como você pode encontrar a variação de volume em um determinado intervalo?
Isso mesmo, integrando a taxa de variação do volume. Portanto, o volume do tanque é dado por:
Resolvendo essa integral temos:
Passo 5
Substituindo na taxa que sai, temos:
Passo 6
Enfim, chegamos a :