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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Exercício 20123456789101112131415161718192122232425262728293031323334353637383940414243444546474849

Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P1 2016.1, questão 1

Considere uma curva C dada pela interseção do cilindro 4 x 2 + y 2 + 8 x = - 3 com o plano x + z = 1 . Uma parametrização de C com t   ∈ 0,2 π , é:

Passo 1

Vamos começar parametrizando o cilindro. Ajeitando sua equação temos:

4 x 2 + y 2 + 8 x = - 3

4 x 2 + 2 x + y 2 = - 3

Completando os quadrados:

4 x + 1 2 - 1 + y 2 = - 3

4 x + 1 2 + y 2 = 1

Podemos ajeitar mais ainda:

2 2 x + 1 2 + y 2 = 1

2 x + 2 2 + y 2 = 1

Agora é só parametrizar. Temos:

2 x + 2 = cos ⁡ t

x = cos ⁡ t 2 - 1

y = s e n t

t   ∈ 0,2 π

Passo 2

Agora, basta substituir x na equação do plano para encontrar z . Vai ficar assim:

z = 1 - x

z = 1 - cos ⁡ t 2 - 1

z = 2 - cos ⁡ t 2

Logo, a curva C tem parametrização:

x = cos ⁡ t 2 - 1

y = s e n t

z = 2 - cos ⁡ t 2

t   ∈ 0,2 π

Resposta

x = cos ⁡ t 2 - 1

y = s e n t

z = 2 - cos ⁡ t 2

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