UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 24a
Calcule:
a)
Onde é uma curva de classe por partes, com imagem contida no semiplano tal que e .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral de linha:
Onde é uma curva de classe por partes, com imagem contida no semiplano tal que e .
Para isso, se conseguirmos provar que nossa função admite uma função potencial dessa forma:
Então a nossa integral de linha tem a seguinte forma:
Assim, vale lembrar que quando admite uma energia potencial, então significa dizer que é independente de caminho.
Logo, podemos aplicar a energia potencial final menos a inicial.
E um dos métodos para provar a independência do caminho é fazendo:
Bom... Para a forma ser exata, temos uma condição necessária para ser satisfeita:
Eaí? Bora lá resolver?
😉
Passo 2
Assim, aplicando o rotacional, temos que satisfazer a seguinte condição:
Como a condição foi satisfeita, então nossa função admite função potencial!!
Passo 3
Bom... Nossa função , quando dizemos que:
Implica que
Assim, vamos descobrir :
Também temos:
Como as duas funções são iguais, então achamos nossa função potencial!!
Passo 4
Do Passo1, temos que:
Aplicando os pontos em , do enunciado temos:
Logo, temos:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
