Verifique se a forma diferencial é exata. Justifique:

a) 2xy dx + x^2 dy

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se a seguinte forma diferencial é exata:

2 x y d x + x 2 d y

Para a forma ser exata, temos uma condição necessária para ser satisfeita:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Obs: P é o termo que acompanha d x e Q é o termo que acompanha d y .

Depois basta integrarmos cada termo em relação a variável correspondente a fim de encontrarmos a função primitiva!!

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Então... verificando a condição, temos:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x ∴

2 x = 2 x

Como a condição foi satisfeita, então agora podemos encontrar a primitiva.

Passo 3

Bom... Integrando cada termo em relação a variável correspondente, temos:

ϕ x , y = ∫ 2 x y d x = x 2 y + A y

ϕ x , y = ∫ x 2 d y = x 2 y + B x

Obs: trata-se do mesmo procedimento do campo conservativo.

Dessa forma, uma função que se encaixa nessas igualdades é:

ϕ x , y = x 2 y

Assim, como a função do enunciado admite primitiva, então ela é exata!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Exata

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