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Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 2

02. O ponto P 7,10,4 está na superfície S dada por σ u , v = 2 u + 3 v , 5 u - v + 1 , u + v + 2 ? E o ponto P ' 5,22,5 ?

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos uma função vetorial dada por σ u , v = 2 u + 3 v , 5 u - v + 1 , u + v + 2 e queremos saber se os pontos P 7,10,4 e P ' 5,22,5 fazem parte da superfície σ .

Sabe como podemos fazer isso? 🤔

Para um ponto fazer parte de uma superfície vetorial σ u , v temos que ter um valor para u , v de modo que σ u 0 , v 0 = P .

Na prática vamos que igualar σ ao ponto e assim vamos encontrar um sistema de três equações e duas variáveis.

Se esse sistema tiver solução significa que o ponto pertence a σ , se não tiver, o ponto não pertence a σ .

Bacana, não é? 😉

Passo 2

Vamos começar pelo ponto P 7,10,4

σ u , v = P 7,10,4

2 u + 3 v , 5 u - v + 1 , u + v + 2 = 7,10,4

2 u + 3 v = 7 5 u - v + 1 = 10 u + v + 2 = 4

Manipulando esse sistema, temos

2 u + 3 v = 7 5 u - v = 9 u + v = 2

Isolando v na terceira equação e substituindo na segunda

v = 2 - u → 5 u - 2 - u = 9

5 u - 2 + u = 9

6 u = 11

u = 11 6

Substituindo em v = 2 - u

v = 2 - 11 6

v = 1 6

Substituindo u e v na primeira equação, temos

2 u + 3 v = 7 → 2 11 6 + 3 1 6 = 7

25 6 = 7

A igualdade não foi satisfeita, portanto P não pertence a σ !

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para P ' 5,22,5

σ u , v = P ' 5,22,5

2 u + 3 v , 5 u - v + 1 , u + v + 2 = 5,22,5

2 u + 3 v = 5 5 u - v + 1 = 22 u + v + 2 = 5

Manipulando esse sistema, temos

2 u + 3 v = 5 5 u - v = 21 u + v = 3

Isolando v na terceira equação e substituindo na segunda...

v = 3 - u → 5 u - 3 - u = 21

5 u - 3 + u = 21

6 u = 2 4

u = 4

Se v = 3 - u então

v = 3 - 4

v = - 1

Substituindo u e v na primeira equação, temos

2 u + 3 v = 5 → 2 4 + 3 - 1 = 5

5 = 5

A solução foi satisfeita, portanto o ponto P ' .

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

O ponto P não pertence mas o ponto P ' pertence.

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