Determine e esboce a imagem da função vetorial

F(x, y) = (x, y, (1 - (x^2 / 9 + y^2 / 4))^(1/2))

Passo 1

Nossa imagem é o vetor

F x , y = x , y , 1 - x 2 9 + y 2 4 1 / 2

Precisamos então achar uma relação entre as componentes desse vetor.

Como temos uma função vetorial de 2 variáveis, essa relação definirá uma superfície, que será a nossa imagem.

Passo 2

Observe que se chamarmos a terceira componente de z , temos

z = 1 - x 2 9 + y 2 4 1 / 2

z 2 = 1 - x 2 9 + y 2 4

E essa é a relação entre as três componentes da nossa função vetorial.

Passo 3

Maaas, ela ainda não nos diz muita coisa. Então, podemos mexer mais um pouquinho nela e vê onde chegamos.

z 2 = 1 - x 2 9 + y 2 4

x 2 9 + y 2 4 + z 2 = 1

OPA OPA! Isso ai já é alguma coisa!

E essa alguma coisa é um elipsoide, de centro na origem com focos 9 = 3 em x , 4 = 2 em y e 1 em z .

PORÉM! Repare que como na função vetorial original temos uma raiz quadrada em z, o elipsoide só vai pegar a parte positiva do eixo z.

Esboçando isso, temos:

Resposta

A imagem de F é o semi-elipsoide:

x 2 9 + y 2 4 + z 2 = 1 ,   z ≥ 0

Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o domínio das funções vetoriais. r t = 4 - t ² ,e - 3 t , ln ⁡ ( t + 1 ) ²
Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t. r t =t e - t , 2 a r c t gt , 2 e t ,t = 0
Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração. r t = e t i + 2 t j + e - t k
Sejam f(t) = a(t) + b(t^2) e g(t) = t + sen(t) + cos(t) , com a → = i → + j → e b → = 2 i → - j → ; 0 ≤ t ≤ 2 π . Calcular:(d) a → · f → (t) + b → · g → (t)
Uma força com módulo 20 N age diretamente no sentido ascendente a partir do plano x y em um objeto com massa 4 k g . O objeto começa na origem com velocidade inicial v → 0 = i → - j → . Determine sua