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Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

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Exercício 8123456791011121314151617181920212223

Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 22b

Decida se o campo vetorial F → dado é conservativo. Justifique, explicitando (se for o caso) uma função potencial f para F → .

b) F → x , y , z = x - y , x + y + z , z 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se o campo vetorial abaixo é conservativo:

F → x , y , z = x - y , x + y + z , z 2

Para isso, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a F → , ou seja:

∇ f x , y , z = F → x , y , z

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Então... pelo que a questão nos deu, temos os seguintes dados:

∂ f ∂ x = x - y

∂ f ∂ y = x + y + z

∂ f ∂ z = z 2

Dessa forma, para encontrarmos a função f , basta integrarmos cada termo:

f x , y , z = x 2 2 - x y + A y , z

f x , y , z = x y + y 2 2 + y z + B x , z

f x , y , z = z 3 3 + C x , y

Passo 3

Bom...com esses resultados a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos.

Perceba que tem alguns termos em uma que não se encaixam na outra... Por exemplo: y z não se encaixa em f x , y , z = z 3 3 + C x , y .

Para isso, teria que ser um termo x e y só.

Logo, não tem uma função que se encaixe nas três igualdades... Portanto, o campo não é conservativo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

O campo não é conservativo

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