UERJ, Sem Campus, Cálculo III, P1 - Profº Claudio Plinio - 2019.2, Questão 2a
Considere o campo dado por:
Determine se F é conservativo e encontre todas as funções potenciais associadas a F.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão nos define um campo vetorial que, para cada ponto (x,y) do plano cartesiano nos retorna um vetor de duas componentes dada pela função F. Agora, a gente tem que determinar se o campo vetorial F é conservativo. Mas quando um campo vetorial é conservativo? Quando a integral de linha dele entre dois pontos não depende do caminho! Ou seja, entre dois pontos A e B, não importa por onde integramos F, sua integral só depende do ponto inicial e final.
Isso ocorre quando o campo vetorial pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial
Então, tudo que precisamos fazer é verificar se as componentes de F correspondem às derivadas parciais de algum campo escalar V. Para isso, vamos precisar integrar as componentes de F. Então, bora lá!
Passo 2
Como a componente x da função F é dada por , temos que sua integral em relação à x, onde consideramos y como constante, é dada por
Onde C(y) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de y, já que estamos integrando apenas em x. Agora, precisamos fazer a mesma coisa para a componente y de F, dessa vez, integrada em y, considerando x como constante. Integrando, obtemos
Integrando por parte o último termo, temos
Então, a integral da componente em relação à y é dada por
Da expressão para a integral de vemos que a função C(x) deve ser algo da forma . Por outro lado, da integral para , vemos que a função C(y) deve ser da forma
. Como uma família de funções tem a mesma derivada devido a um termo constante cte, temos que os potenciais V tais que seus gradientes nos geram o campo vetorial F são da forma:
Se derivarmos V em relação à x, obtemos a componente , e se derivarmos V em relação à y, obtemos a componente , para qualquer que seja o valor da constante cte. Ou seja, o campo vetorial F pode ser escrito como o gradiente de um potencial V e, portanto, é conservativo.
Resposta
F é conservativo.