UERJ, Sem Campus, Cálculo III, P1 - Profº Claudio Plínio - 2019.2, Questão 1
Marque Verdadeiro (V) ou Falso (F) nas sentenças abaixo, justificando suas respostas:
( ) , onde t ∈ R é uma curva parametrizada regular .
( ) O vetor unitário normal à superfície de nível no ponto (1, 1, 2) do campo escalar , é (4, 4, 4)
( )
( ) Dom r =]1, 4[ , onde
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para classificarmos as sentenças como falsa ou verdadeira. Então, vamos começar com a primeira sentença, que nos define uma curva parametrizada por um parâmetro t, tal que, para cada t, temos um ponto no espaço tridimensional com as coordenadas
Como as funções são funções contínuas e infinitamente diferenciáveis (isto é, possuem derivada de qualquer ordem), temos que é uma curva parametrizada regular . Portanto, a afirmação é verdadeira.
A segunda sentença nos define um campo escalar dado por:
Se nos restringindo aos pontos onde , temos uma superfície definida pela equação
A gente sabe que, em uma superfície de nível, o vetor gradiente da função é ortogonal à superfície em cada ponto. Então, para calcular um vetor normal unitário à superfície no ponto (1, 1, 2), precisamos calcular o gradiente da função nesse ponto. Para isso, precisamos das derivadas parciais de . Calculando-as, obtemos
Então, a gente tem que o vetor gradiente no ponto (1, 1, 2), que é normal à superfície de nível, é dado pelas coordenadas (4, 4, 4). No entanto, este vetor, apesar de normal à superfície de nível, não é unitário. Então, a afirmativa é falsa.
Agora, vamos dar uma olhada nas sentenças restantes.
Passo 2
A terceira sentença nos afirma que o limite de uma curva parametrizada por um parâmetro t é (1, 2, 1). Para isso, precisamos calcular o limite de cada uma das componentes. Para a primeira temos
Quando t tende a zero, obtemos uma indeterminação. Utilizando a regra de L’Hôspital para calcular o limite, derivamos o numerador e o denominador para então calculá-lo. Assim, temos
Para a segunda componente, obtemos uma indeterminação novamente:
Novamente, utilizando a regra de L’Hôspital, obtemos:
Para a última componente, temos que o limite é
Então, o limite quando t tende à zero é . Portanto, a terceira afirmativa é falsa.
A quarta afirmativa nos pede para determinar o domínio da função r que leva um parâmetro real t à um ponto do espaço tridimensional através da expressão . Como raiz de números negativos não possui valor real, temos que
e
Temos que a última expressão, 16 - t², é positiva de -4 até 4. Mas da primeira condição, que t seja maior que 1, temos então que o intervalo para o qual a função r está definida é ]1,4[. Portanto, a afirmativa é verdadeira.
Resposta
(V)
(F)
(F)
(V)