Decida se o campo vetorial F → dado é conservativo. Justifique, explicitando (se for o caso) uma função potencial f para F → .

c) F(x, y) = (y, x)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se o campo vetorial abaixo é conservativo:

F → x , y = y , x

Para isso, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a F → , ou seja:

∇ f x , y = F → x , y

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Então... pelo que a questão nos deu, temos os seguintes dados:

∂ f ∂ x = y

∂ f ∂ y = x

Dessa forma, para encontrarmos a função f , basta integrarmos cada termo:

f x , y = x y + A y

f x , y = x y + B x

Passo 3

Bom...com esses resultados a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos.

Perceba que a gente tem um termo que sempre se repete (que com certeza está na nossa função). A y e B x são só constantes.

Dessa forma, para as duas funções serem iguais, temos:

f x , y = x y + K

Logo, como a função que estávamos procurando existe, então o campo é conservativo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

O campo é conservativo

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