Decida se o campo vetorial F → dado é conservativo. Justifique, explicitando (se for o caso) uma função potencial f para F → .

  1. F(x, y, z, w) = (x, y, z, w)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se o campo vetorial abaixo é conservativo:

F → x , y , z , w = x , y , z , w

Para isso, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a F → , ou seja:

∇ f x , y , z , w = F → x , y , z , w

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Então... pelo que a questão nos deu, temos os seguintes dados:

∂ f ∂ x = x

∂ f ∂ y = y

∂ f ∂ z = z

∂ f ∂ w = w

Dessa forma, para encontrarmos a função f , basta integrarmos cada termo:

f x , y , z , w = x 2 2 + A y , z , w

f x , y , z , w = y 2 2 + B x , z , w

f x , y , z , w = z 2 2 + C x , y , w

f x , y , z , w = w 2 2 + D x , y , z

Passo 3

Bom...com esses resultados a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos.

Perceba que a gente não tem um termo que se repete e cada termo se encaixa na outra função.

Dessa forma, temos a seguinte função:

F x , y , z , w = x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + w 2 2 + K

Logo, como a função que estávamos procurando existe, então o campo é conservativo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

O campo é conservativo

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